Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.
Вложение при помощи линейной системы 250px|thumb|Скрученная кубика — образ вложения рациональной кривой при помощи линейного расслоения Наборы точек на алгебраической кривой с некоторыми кратностями называются дивизорами. Если, например, дана кривая, лежащая на комплексной проективной плоскости (или, более общо, комплексном проективном пространстве ), то множество точек, по которой её пересекает какая-нибудь прямая, с кратностями, равными кратностям пересечения (или, если кривая лежит в пространстве, какая-нибудь гиперплоскость) — это дивизор. В алгебраической геометрии обычно рассматриваются не отдельные дивизоры, а их классы. Так, плоской кривой можно сопоставить класс дивизоров, состоящий из дивизоров, высекаемых на кривой всевозможными прямыми (всевозможными гиперплоскостями). Он называется линейной системой дивизоров, соответствующей данному вложению (обычно говорят просто «линейная система»).
Вопрос. Пусть дана абстрактная кривая, никуда не вложенная, и линейная система, соответствующая некоторому вложению. Можно ли по ней восстановить это вложение (с точностью до проективного преобразования объемлющего пространства)?
Оказывается, это возможно. Для этого, однако, нужно получше понять, что такое гиперплоскость в проективном пространстве. В аффинном пространстве гиперплоскость может быть задана как ядро (множество нулей) линейной функции (и такая функция будет единственна с точностью до умножения на ненулевое число). На проективном пространстве, однако, никаких линейных функций нет: всякая голоморфная функция на компактном комплексном многообразии постоянна. Если — векторное пространство, то точки его проективизации — это прямые , и если — линейная функция на , то «значение» в точке — это линейный функционал на соответствующем линейном пространстве , то есть вектор в двойственном линейном пространстве . При этом прямые, на которых этот функционал равен тождественному нулю — это в точности прямые, лежащие в ядре ; соответствующие им точки в проективизации образуют проективную гиперплоскость.
Формализуется это следующим образом: проективизация допускает над собою тавтологическое линейное расслоение, слой которого над точкой есть сама прямая , рассматриваемая как линейное пространство. Это расслоение обозначается символом . Сопряжённое к нему линейное расслоение (то есть такое, слои которого в каждой точке двойственны слоям исходного расслоения в тех же точках) обозначается ; его сечения соответствуют линейным функционалам на векторном пространстве . Соответственно, множества нулей сечений — это гиперплостости. Тем самым, если — проективная кривая, то соответствующая линейная система на ней состоит из дивизоров нулей сечений расслоения .
Если имеется абстрактная кривая, то линейное расслоение на ней может быть восстановлено по множествам нулей своих всевозможных сечений (при условии, что различных сечений достаточно много). Таким образом, по линейной системе дивизоров на абстрактной кривой можно восстановить линейное расслоение, для которого эти дивизоры — нулевые уровни его сечений. Следовательно, вопрос можно переформулировать следующим образом.
Вопрос. Пусть имеется вложение алгебраической кривой , и — ограничение на неё расслоения . Зная только , можно ли восстановить вложение ?
Заметим, что расслоение обладает следующим свойством: для всякой точки существует сечение такое, что . Это верно, например, потому что для любой точки пространственной кривой можно выбрать сечение гиперплоскостью, не проходящей через эту точку, и ограничить соответствующее сечение на кривую. Расслоения с таким свойством называются порождёнными глобальными сечениями. Конструкция вложения теперь очень простая. Рассмотрим пространство сечений . Каждая точка определяет отображение отображением вычисления . Таким образом, точка кривой определяет вектор в пространстве , хорошо определённый с точностью до пропорциональности — то есть точку в проективном пространстве . Это и задаёт вложение , с точностью до проективного соответствия совпадающее с исходным.
Что мы, в сущности, показали? Всякое линейное расслоение на кривой, порождённое глобальными сечениями, может быть получено как обратный образ расслоения относительно некоторого алгебраического отображения . При этом степень расслоения (число нулей у его общего сечения) оказывается равной степени образа кривой при таком вложении. Её можно понимать как число точек пересечения с гиперплоскостью — то есть индекс пересечения классов гомологий и , а можно как интеграл: форма Фубини — Штуди двойственна по Пуанкаре классу гиперплоского сечения (с точностью до умножения на ), так что степень дивизора может быть вычислена как . Заметим, что форма Фубини — Штуди есть форма кривизны на расслоении . Таким образом, степень линейного расслоения на алгебраической кривой, порождённого глобальными сечениями, может быть выражена как интеграл кривизны некоторой связности на нём. Теория Черна — Вейля утверждает гораздо большее: в частности, степень любого линейного расслоения над алгебраической кривой (и вообще любым вещественно двумерным компактным ориентируемым многообразием) равняется интегралу кривизны любой связности в нём (делённому на ).
Классифицирующие отображения для линейных расслоений Реализация линейных расслоений при помощи отображений по линейной системе страдает существенными недостатками: так, у расслоения может не быть вообще никаких сечений. В случае кривой это можно искусственно поправить, потому что тогда имеются сечения у двойственного расслоения, и иногда можно получить исходное расслоение как обратный образ вдоль антиголоморфного отображения. Но на комплексной поверхности линейное расслоение может быть «положительным» в одном направлении, а «отрицательным» в другом, и подобным трюком обойтись уже нельзя. Вместе с тем, отображения по линейной системе дают некоторую интуицию, которая позволяет добиться гораздо большего, если задаться не алгебраическими или голоморфными отображениями, а произвольными непрерывными.
200px|thumb|Хайнц Хопф (1936) Вернёмся к расслоению , и будем считать, что пространство снабжено эрмитовой метрикой. Тогда и расслоение снабжено эрмитовой метрикой. Выделим в нём расслоение векторов единичной длины: на нём действует унитарная группа , притом в каждом слое свободно и транзитивно. Тотальное пространство этого расслоения может быть отождествлено с единичной сферой в . Расслоение со слоем окружность — это хорошо известное расслоение Хопфа.
Эрмитово (неполное) пространство , реализованное как предел включений с топологией объединения, содержит в себе единичную сферу , к которой вышесказанное относится в той же мере. Фактор по действию — это бесконечномерное проективное пространство с топологией объединения своих конечномерных подпространств, составляющих некоторый полный флаг. Однако в отличие от своих конечномерных собратьев оно отличается следующими свойствами:
Тотальное пространство бесконечномерного расслоения Хопфа (то есть ) стягиваемо. Если — главное расслоение со слоем , то есть расслоение на окружности, снабжённое действием унитарной группы , свободным и транзитивным на каждом слое, то существует отображение такое, что изоморфно обратному образу бесконечномерного расслоения Хопфа вдоль . Для данного главного расслоения все такие отображения гомотопны друг другу. Любое из них называется классифицирующим отображением.
Хотя тотальное пространство бесконечномерного расслоения Хопфа стягиваемо, топология его базы нетривиальна: для всякого чётного числа его целочисленные когомологии одномерны. Как градуированная алгебра они изоморфны кольцу многочленов , где . Обратный образ образующей вдоль отображения, в силу третьего свойства из списка выше — корректно определённый инвариант главного расслоения. Это и есть класс Черна.
Заметим, что в ограничении на каждый из конечномерных класс может быть представлен в когомологиях де Рама как класс формы Фубини — Штуди, делённый на . С другой стороны, форма Фубини — Штуди есть кривизна инвариантной связности в , то есть его оттяг вдоль есть кривизна некоторой -эквивариантной связности в главном расслоении . Если проверить, что кривизны -эквивариантных связностей в главном -расслоении суть замкнутые 2-формы, принадлежащие к одному и тому же классу когомологий де Рама, немедленно получается утверждение теории Черна — Вейля для линейных расслоений:
Теорема. Пусть — эрмитово линейное расслоение, и — форма кривизны какой-нибудь унитарной связности в . Тогда .
Из неё, к примеру, немедленно следует теорема Гаусса — Бонне.
Классифицирующие пространства С расслоениями иными, нежели линейные, можно также связать главные -расслоения для иных групп : так, с эрмитовым расслоением ранга связано главное расслоение со структурной группой , слои которого — пространства, параметризующие ортонормированные реперы в данном слое векторного расслоения. Обратно, по главному -расслоению и представлению группы восстанавливается векторное расслоение. Если главное -расслоение было снабжено -эквивариантной связностью, то получающееся векторное расслоение также будет снабжено связностью, сохраняющей -структуру.
Оказывается, для произвольной группы Ли (или, более общо, топологической группы) существует аналог расслоения Хопфа. Это некоторое главное -расслоение; оно обозначается , а его база называется классифицирующим пространством. Оно единственно с точностью до гомотопической эквивалентности, и обладает следующими свойствами:
Все гомотопические группы его тотального пространства тривиальны. Для всякого главного -расслоения существует классифицирующее отображение такое, что получается как обратный образ расслоения вдоль . Все классифицирующие отображения гомотопны друг другу.
Например, если , то в качестве можно выбрать окружность, а — её универсальную накрывающую, вещественную прямую. В большинстве случаев, однако, классифицирующее пространство не имеет гомотопический тип компактного многообразия: так уже для в качестве возникает опять бесконечномерная сфера, на которой действует антиподальным отображением, а — фактор по нему, то есть . Из этого конструкцией, аналогичной описанной выше, получается первый класс Штифеля — Уитни вещественного линейного расслоения.
Алгебра Вейля left|thumb|Андре Вейль (1956) Если для группы можно вычислить алгебру когомологий (которая уже корректно определённая алгебра в сили того, что все классифицирующие пространства гомотопны друг другу), то обратные образы классов оттуда вдоль классифицирующих отображений будут инвариантами главных расслоений. Эта задача, однако, весьма трудна, во всяком случае если алгебру когомологий брать с целочисленными коэффициентами.