Треугольник Шарыгина — треугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник.

Был впервые рассмотрен Игорем Фёдоровичем Шарыгиным в 1982 году в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия».

Треугольники Шарыгина представляют интерес, так как существуют в отличие от аналогичных треугольников, в определении которых вместо биссектрис использованы, например, медианы или высоты.

Существование треугольников Шарыгина Для любого угла такого, что , существует с точностью до подобия ровно один треугольник Шарыгина с одним из углов, равным , причём для любого треугольника Шарыгина косинус одного из его углов лежит в указанном интервале.

Сам угол в градусах удовлетворяет приближённому двойному неравенству .

Кубика Шарыгина Кубикой Шарыгина называется полученная в доказательстве выше кубика (имеющая более простой, но не удовлетворяющий формальному определению кубики вариант записи: ), задающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольник со сторонами являлся треугольником Шарыгина с равными сторонами (см. рисунок).

Конкретные примеры

В правильных многоугольниках На момент 2017 года известен только один пример треугольника Шарыгина, вершины которого могут являться некоторыми вершинами правильного многоугольника. В данном примере вершины треугольника являются первой, второй и четвёртой вершинами правильного семиугольника.

С целыми длинами сторон Существует бесконечное число различных целочисленных треугольников Шарыгина, что было доказано при помощи теории эллиптических кривых (конкретно была рассмотрена эллиптическая кривая, задаваемая кубикой Шарыгина). Пример, одна из сторон в котором является наименьшей из возможных, имеет следующий набор сторон

Минимальность данного примера была проверена полным перебором.

Вариации

Рассматриваются также аналогичные треугольники, в которых равнобедренным является не треугольник, образованный основаниями биссектрис внутренних углов, а треугольник, образованный одним основанием биссектрисы внутреннего угла и двумя основаниями внешних биссектрис к двум другим углам.

Примечания

Литература Игорь Нетай, Алексей Савватеев "Треугольники Шарыгина и эллиптические кривые"

Ссылки Лекция Игоря Нетая на youtube

Категория:Виды треугольников Ш