Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).
Формулировка Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.
Общая формулировка Пусть — поле, полное относительно дискретного нормирования , а — кольцо целых поля (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть — некоторый элемент , такой что , обозначим соответствующее ему как . Пусть — некоторый многочлен с коэффициентами из . Если у редуцированного многочлена есть простой корень (то есть, существует такой что и ), то существует единственный , такой что и Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43.
Альтернативная формулировка В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также и — целые числа, такие что . Если — целое число, такое что
то существует целое число , такое что
Более того, число определено однозначно по модулю и может быть выражено в явном виде как
где — целое число, такое что
Следует заметить, что, в силу , также выполнено условие .
Пример Рассмотрим уравнение , определяющее автоморфные числа длины в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:
При решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на , , или . Чтобы получить решения для больших , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что .
По приведённым выше формулам, переход от к для будет иметь следующий вид:
См. также Теорема Минковского — Хассе Лемма о поднятии экспоненты
Примечания
Литература
Категория:Леммы Категория:Модульная арифметика Категория:Коммутативная алгебра