Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире, Индии, Китае, Германии и Италии. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.
История
Схема чисел, образующих арифметический треугольник, была известна задолго до времён Паскаля.
Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника ПаскаляThe Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63". Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (). С X по XVII век можно проследить непрерывное распространение знаний об арифметическом треугольнике в исламском мире.
Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века к трудам другого математика, ПингалыPisipati S. S. The knpwn srcret. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя ().
В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из , также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (), что стало основой современного западного названия See in particular p. 11..
Обозначения и свойства Биномиальные коэффициенты часто обозначаются или и читаются как «число сочетаний из элементов по ».
Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси. В строке с номером n (нумерация начинается с 0): первое и последнее числа равны 1; второе и предпоследнее числа равны n; третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк; четвёртое число является тетраэдрическим; m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту . Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна . Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка). Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на единицу меньше. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Выборочное вычисление значений Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчёта всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.
Чтобы рассчитать ряд с элементами , начните с . Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:
Например, для расчёта значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения , , , и , и следовательно элементы ряда , , , и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)
Для расчёта элементов диагоналей начните снова с и получите последующие элементы путём умножения на определённые дроби:
Например, для расчёта диагонали начиная с , дроби будут следующими , и следовательно элементы получатся , и так далее. По симметрии эти элементы равны , и так далее.
Цитаты
См. также Треугольник Серпинского Гипотеза Сингмастера Треугольник Хосойя
Примечания
Литература
Ссылки
Построение треугольника Паскаля
Категория:Комбинаторика Категория:Блез Паскаль