В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел и выполняется неравенство:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных .
Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда :
Доказательство Поскольку неравенство симметрично относительно переменных , то без ограничения общности можно считать, что . Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:
которое выполняется потому, что . Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при или и . Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда или двое из чисел равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.
Обобщения Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных и неотрицательных действительных :
если выполняется хотя бы одно из следующих условий: и и и и и и - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного) - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного) - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного) - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного) Существует выпуклая или монотонная функция , где - это интервал, который содержит числа , , , причём , ,
Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа и положительное действительное число таковы, что , то:
Примечания
Категория:Неравенства Категория:Алгебра Категория:Числовые неравенства