-адическое числоПроизносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и так далее. — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно -адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на .

-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.

Поле -адических чисел обычно обозначается или .

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение Целым -адическим числом для заданного простого называется бесконечная последовательность вычетов по модулю , удовлетворяющих условию: .

Сложение и умножение целых -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых -адических чисел обычно обозначается .

Определение через проективный предел В терминах проективных пределов кольцо целых -адических чисел определяется как предел:

колец вычетов по модулю относительно естественных проекций .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа , но и любого составного числа  — получится кольцо -адических чисел, но это кольцо в отличие от обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения к нему неприменимы.

Свойства Обычные целые числа вкладываются в очевидным образом: и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число (таким образом, ), можно записать каждое целое -адическое число в виде однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое в -ичной системе счисления и, учитывая, что , возможно всякое -адическое число в каноническом виде представить в виде или записать в виде бесконечной последовательности цифр в -ичной системе счисления . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в -ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют -адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют -адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа -адическим числом называется элемент поля частных кольца целых -адических чисел. Это поле называется полем -адических чисел.

Поле -адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое -адическое число, не кратное , обратимо в кольце , а кратное однозначно записывается в виде , где не кратно и поэтому обратимо, а . Поэтому любой ненулевой элемент поля может быть записан в виде , где не кратно , а любое; если отрицательно, то, исходя из представления целых -адических чисел в виде последовательности цифр в -ичной системе счисления, мы можем записать такое -адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде -ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение Любое рациональное число можно представить как: , где и  — целые числа, не делящиеся на , а  — целое. Тогда  — -адическая норма  — определяется как . Если , то .

Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма продолжается по непрерывности до нормы на .

Свойства Каждый элемент поля -адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда: , где  — некоторое целое число, а  — целые неотрицательные числа, не превосходящие . А именно, в качестве здесь выступают цифры из записи в системе счисления с основанием . Такая сумма всегда сходится в метрике к самому .

-адическая норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника: . Числа с условием образуют кольцо целых -адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел в норме . Числа с условием образуют мультипликативную группу и называются -адическими единицами. Совокупность чисел с условием является главным идеалом в с образующим элементом .

Метрическое пространство гомеоморфно канторову множеству, а пространство гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.

Для различных нормы независимы, а поля неизоморфны.

Для любых элементов , , , , , … таких, что и , можно найти последовательность рациональных чисел таких, что для любого выполнено и .

Применения Если  — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения:

эквивалентна разрешимости уравнения:

в целых -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях -адических чисел при всех , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определённого конечного числа значений . Например, согласно лемме Гензеля, при достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных служит наличие простого решения у сравнения по модулю (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначе говоря, при для проверки наличия корня у уравнения в целых -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при .

-адические числа находят широкое применение в теоретической физикеVladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993. Известны -адические обобщённые функцииВладимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53, -адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789, -адическая квантовая механика Vladimiriv V. S., Volovich I. V. p-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676 Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53, -адическая спектральная теорияВладимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990) , -адическая теория струнVolovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84 Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — ISBN 5-02-007023-8 — С. 287—291.

Примечания

Литература

Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — : Мир, 1982. Курс арифметики, — : Мир, 1972.

Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014, Дубна

Категория:Теория чисел Категория:Числа Категория:1897 год в науке