Тео́рия пласти́н — раздел теории упругости, в котором рассматриваются упругие тела с толщиной много меньше, чем остальные геометрические размеры. Сведение трёхмерной задачи теории упругости к двумерной и её решение являются основными темами теории пластин. Общий вопрос теории заключается в нахождении уравнений, отвечающих за связи между деформациями и напряжениями при различных допущениях. В случае тонких пластин и малых прогибов применяют теорию Кирхгофа — Лява. Большие прогибы тонких пластин описываются уравнениями Фёппля — фон Кармана. Для упругих свойств толстых пластин применяют теорию Миндлина. Исторически теория пластин развивалась в связи с многочисленными практическими применениями в строительстве, а позже — в кораблестроении и самолётостроении, где важны расчёты на прочность.

В общем случае теория пластин строится на выводе уравнений для совместности деформаций, уравнений равновесия, указания материальных соотношений теории упругости и заданием граничных условий. Современная трактовка уравнений теории пластин основывается на вариационных принципах. Если задача имеет высокую симметрию, то уравнения теории пластин принимают упрощённый вид. В целом теория пластин в её оригинальной аналитической формулировке теряет актуальность, и, в настоящее время, используют численные методы для расчёта пластин, среди которых наибольшей распространённостью пользуются методы конечных элементов.

Определения и классификация пластин Тело, имеющее форму прямой призмы или прямого цилиндра с высотой (толщиной) много меньше, чем другие размеры, называется пластиной (пластинкой) с постоянной толщиной. В таком теле можно выделить срединную плоскость, которая делит пополам толщину пластинки, а её пересечение с боковыми поверхностями формирует контур пластины. В задачах теории пластин рассматривают пластины, закреплённые по контуру, и силы (усилия) натуральным образом делятся на две компоненты: действующие в срединной плоскости и действующие перпендикулярно ей. При решении задачи обычно интересует форма срединной плоскости после приложения внешних сил и граничных условий. При этом точки срединной плоскости при изгибах (прогибах) переходят в новые положения и формируют срединную поверхность. Прогибы пластины считаются сравнимыми с толщиной пластины, что соответствует большим прогибам, но малы по сравнению с другими размерами пластины, и срединная поверхность полога. При определённом характере напряжений в пластине можно говорить о трёх категориях пластин: жёстких, гибких и абсолютно гибких пластинах или мембранах. При отсутствии или пренебрежении напряжений растяжения-сжатия срединной плоскости говорят о жёстких пластинах. При учёте напряжений (помимо изгибных), распределённых по толщине (так называемые мембранные напряжения), возникает неразвёртывающаяся поверхность, то есть часть пластины увеличивает или уменьшает длины составных слоёв срединного слоя пластины. Если можно пренебречь собственными изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной плоскости, то говорят об абсолютно гибких пластинах или мембранах. Условно можно говорить о жёстких пластинах при величине прогиба меньше, чем 1/5 от толщины, а о мембранной пластине, если прогиб в 5 раз больше толщины пластины.

История Исследованию тонких пластин положила начало работа Эйлера, опубликованная в трудах Петербургской Академии наук в 1766 году, который рассмотрел колебания абсолютно гибких пластин (или мембран) прямоугольной и круглой форм. Он решал волновое уравнение для малых колебаний. Впервые колебания жёстких пластин рассмотрел ученик Эйлера Я. Бернулли в 1788 году. Он рассмотрел линейное дифференциальное уравнение 4-й степени для малых прогибов, но не учёл смешанные производные, которые отвечают за кручение пластины, поскольку рассматривал прямоугольную пластину как сетку упругих балок. В 1809 году Хладни продемонстрировал свои эксперименты с песком, насыпанном на вибрирующие пластинки во Французской академии наук, которая установила премию благодаря присутствующему на заседании Наполеону за разработку математической теории. Первой использовать вариационный подход в теории пластин в 1811 году стала С. Жермен, которая рассмотрела эту задачу и оказалась единственным кандидатом на получение премии, но получила неправильный результат из-за некорректного выражения для потенциальной энергии и осталась без премии. Результат был исправлен Лагранжем в 1813 году, который присутствовал на докладе С. Жермен. Уравнение для малых прогибов тонкой пластины носит название уравнение Лагранжа — Жермен. Существенный вклад в теорию жёстких пластин внесли работы Навье и Кирхгофа, которые решали уравнения для малых прогибов для некоторых граничных условиях. В 1812 году Пуассон применил теоретические воззрения об атомарных силах Бошковича для рассмотрения упругости мембран. Уравнения равновесия для упругого тела получил в 1821 году Навье исходя из молекулярного строения твёрдых тел. Навье также построил первую приемлемую теорию изгиба пластинок под действием равномерно распределённой нагрузки и рассмотрел задачу о выпучивании пластины под действием сжимающих сил.

Понятие о функции напряжения ввёл Эйри, когда рассматривал двумерный аналог теории балок в 1862 году. Треска представил в 1868 году доклады во Французскую академию наук о течении металлов под большим давлением. Сен-Венан, заинтересовавшись этими докладами, ввёл понятие динамической пластичности металлов и рассмотрел несколько задач о кручении брусьев.

Теория гибких пластинок оказалась востребована в кораблестроении на рубеже XIX и XX веков в связи с переходом к металлическим корпусам судов. Увеличение тоннажа судов приводило к прогибам обшивки бо́льшим, чем её толщина. И. Г. Бубнов поставил такую задачу в приложении к кораблестроению и решил её. В 1902 году он опубликовал работу «Напряжения в обшивке судов от давления воды». В этой работе он указал на наблюдаемое, во многих случаях, превышение напряжений над допустимыми при статической нагрузке. И. Г. Бубнов предложил использовать разделение пластин по характеру напряжённого состояния в них на жёсткие, гибкие и мембраны. в 1906—1907 годах ввёл в обиход применение метода последовательных приближений и использовал его для расчёта корпуса линейных кораблей класса «Севастополь».

Кирхгоф поставил задачу о нахождении уравнений для большого прогиба пластин и показал, что деформация срединной плоскости в таком случае зависит от прогиба нелинейно. В конечном виде уравнение равновесия он не получил, хотя предварительные выкладки сделал. Сен-Венан в 1881 году в комментариях для книги Клебша «Теория упругости» вывел уравнение для больших прогибов пластинки, но считал усилия заданными. В 1907 году Фёппль рассмотрел систему уравнений для больших прогибов абсолютно гибких пластин и ввёл функцию напряжений. В 1910 году фон Карман дополнил уравнения Фёппля членом с цилиндрической жёсткостью, представив современную систему уравнений для больших прогибов пластин, названную уравнениями Фёппля — фон Кармана. С. П. Тимошенко рассмотрел круглую пластину с приложенным по контуру моментом нагрузки. Для решения он применил метод Ритца.

В 1930-х годах в Советском Союзе и в мире исследования тонких пластин получили большой толчок из-за бурного развития самолётостроения. В частности, важным вопросом была устойчивость пластин при усилиях сжатия и сдвига в срединной плоскости. Задача определения несущей способности обшивки оказалась наиболее востребована в самолётостроении. В 1929—1932 годах Г. Вагнер и фон Карман рассмотрели закритические деформации пластинок при сдвиге и сжатии. Аналогичные исследования опубликовал П. А. Соколов в 1932 году. Энергетический метод для теории устойчивости пластин применили Маргерр, Кромм и Треффц в 1937 году. Также П. Я. Полубаринова-Кочина использовала впервые метод возмущений, когда неизвестные функции раскладываются в ряд по малому параметру, для решения тех же задач.

В 1936 году Г. Г. Ростовцев получил уравнения для анизотропной пластинки. В последующем он рассмотрел закритические деформации изотропных и ортотропных пластин.

С. Уэй рассмотрел задачу о больших прогибах круглой защемлённой по контуру пластины с равномерной внешней нагрузкой. Он получил точное решение для уравнений фон Кармана в виде бесконечных рядов. Для более быстрой сходимости Р. С. Алвар и др. использовал разложение искомых функций в ряд полиномов Чебышёва. В последующей статье результат был обобщён на случай больших перемещений ортотропной пластины, где рассматривались также численные решения для колебаний круглой пластины с различными граничными условиями. В. В. Соколовский рассмотрел вопрос о пластических деформациях свободно опертых круглой и кольцевой пластинок с использованием поверхности пластичности Мизеса. Охаши Ю. и др. рассмотрели упруго-пластические деформации защемлённой круглой пластины при равномерной кольцевой нагрузке, используя метод Соколовского.

Уравнение совместности деформаций Уравнения совместности деформаций возникают при рассмотрении сплошного тела. Деформации в таком случае не могут быть независимыми. Пусть h — толщина пластины, x и y — декартовы координаты заданные в срединной плоскости, z — направление, определяющее прогибы пластины. Перемещения вдоль осей x, y и z задаются функциями двух координат срединной плоскости u(x,y), v(x,y) и w(x,y), соответственно. Деформации удлинения срединной плоскости в направлении x и y обозначаются посредством и , а также деформация сдвига в плоскости xy обозначается . Каждая из деформаций зависит от функций перемещений. Пусть точка A (см. рис. 1) с координатами (x,y) переместится на (u,v), точка B с координатами (x+dx,y) перемещается в точку , точка C с координатами (x,y+dy) перемещается в точку . Теперь зная новые длины сторон dx1,dy1 из геометрических соображений можно определить относительное удлинение в направлении x до второго порядка малости и первого порядка, который нас интересует:

Перемещения в срединной плоскости для тонких пластин считаются малыми и обычно отбрасывают второй порядок малости, так как основной вклад вносит перемещение перпендикулярное срединной плоскости. Аналогично получают выражение для деформации по y.

Для деформации сдвига рассматривают разность между прямым углом образованным элементами dx и dy и новым углом после деформации. До первого порядка малости

При деформации обусловленной прогибом w удлинение элемента длины находится из геометрических соображений (см. рис. 2).

и соответствующая деформация по x и y

Для деформации сдвига можно получить выражение

Собирая все вклады для деформации срединной плоскости и прогиба, выражения для деформаций запишутся в виде

Дифференцируя дважды по y дважды по x один раз по x и один раз по y, получим выражение для неразрывности деформаций

Уравнение совместимости деформаций пластины c дополнительным прогибом При наличии дополнительного прогиба пластины w0 уравнения для связи деформаций с перемещениями также можно записать в замкнутой форме. Эти уравнения всё ещё полезны и имеют простой вид по сравнению с более общей теорией оболочек, где приходится использовать криволинейные координаты:

Уравнение совместимости деформаций при начальном прогибе пластины принимает вид

Напряжения в пластине