В теории чисел теорема Лагранжа — это утверждение, названное в честь Жозефа-Луи Лагранжа, о том, при каких условиях значение многочлена с целочисленными коэффициентами может быть кратным фиксированному простому числу.
Формулировка
Если — простое число, — многочлен степени с целочисленными коэффициентами, то: либо все коэффициенты кратны либо сравнение имеет не более решений.
Замечания Если все коэффициенты кратны то любое значение является решением приведённого сравнения. Простота модуля существенна, для составного модуля теорема, вообще говоря, неверна. Например, сравнение: имеет 4 решения:
Доказательство теоремы Лагранжа Пусть — многочлен над кольцом , полученный из заменой каждого коэффициента соответствующим классом вычетов по модулю
Лемма 1. делится на тогда и только тогда, когда Доказательство. Если делится на то и , по построению, попадает в тот же класс вычетов, что и то есть в нулевой класс. И обратно, если то вычисление даёт результат из класса вычетов, содержащего то есть делится на
Лемма 2. У многочлена если он не нулевой многочлен, не может быть более корней. Доказательство. Поскольку — простое число, является полем, а ненулевой многочлен степени в любом поле имеет не более корней, потому что каждый корень добавляет в разложение многочлена одночлен
Доказательство теоремы. Если — нулевой многочлен, то это, согласно его построению, означает, что все коэффициенты кратны В противном случае из первой леммы следует, что число несравнимых по модулю решений уравнения совпадает с число корней многочлена которое, по второй лемме, не превышает
Вариации и обобщения Теорема Лагранжа справедлива не только для многочленов над кольцом целых чисел но для многочленов над любой другой областью целостности.
Примечания
Литература
Категория:Теоремы о простых числах Категория:Многочлены Категория:Модульная арифметика