Моделирование твёрдого тела — это непротиворечивый набор принципов математического и компьютерного моделирования трёхмерных объектов. Моделирование твёрдого тела отличается от близких областей, и компьютерной графики, упором на физическую точность. Принципы геометрического моделирования и моделирования твёрдого тела вместе образуют основу систем автоматизированного проектирования трёхмерных тел и, как правило, поддерживают создание, визуализацию, анимацию, вычисление и аннотацию численных свойств модели физических объектов. На протяжении статьи будем употреблять термины «твёрдое тело», «сплошное тело» и «трёхмерное тело» как синонимы.

Обзор Использование техник объёмного моделирования позволяет автоматизацию некоторых сложных инженерных вычислений, выполняемых как часть процесса разработки. Моделирование, планирование и проверка процессов, таких как обработка резанием и конвейерная сборка, были главными катализаторами развития моделирования объёмного тела. Недавно был расширен ряд производственных приложений такими процессами, как производство изделий из листового металла, литьё пластмасс под давлением, сварка, прокладка труб и так далее. Кроме традиционного производства, техники объёмного моделирования обеспечивают фундамент для быстрого прототипирования, архивации цифровых данных и обратной разработки путём построения тел из отобранных точек на физических объектах, механический анализ с использованием метода конечных элементов, планирования движения и проверка пути NC (, Числовое управление), кинематический и динамический анализ механизмов, и так далее. Центральной задачей всех этих приложений является возможность эффективно представлять трёхмерные геометрические объекты и работать с ними согласно физическому поведению реальных объектов.

Математические основы Понятие объёмного моделирования в современном понимании опирается на конкретные нужды для информационной полноты в системах механического геометрического моделирования, в том смысле, что любая компьютерная модель должна поддерживать все геометрические запросы, которые могут быть сформулированы для соответствующего физического объекта. Требование наявности отражает возможность нескольких компьютерных представлений одного и того же физического объекта пока эти два представления совместимы. Невозможно вычислительно проверить информационную полноту представления, пока понятие физического объекта не определено в терминах математически вычисляемых свойств, независимых от конкретного представления. Эти причины привели к разработке парадигм моделирования, которые очерчивают поле объёмного моделирования в том виде, какое мы сейчас имеем.

Все создаваемые компоненты имеют конечный размер и хорошо определённые границы, так что первоначально фокус был направлен на математическое моделирование твёрдых частей, сделанных из однородного изотропного материала, который может быть добавлен или удалён. Эти постулируемые свойства можно транслировать в свойства подмножеств трёхмерного евклидова пространства. Два общих подхода для определения твёрдости опирается на общую топологию и алгебраическую топологию соответственно. Обе модели определяют, как твёрдое тело может быть построено из простых кусков или ячеек.

Согласно неразрывной модели точечных множеств все точки любого множества можно классифицировать по их окрестности по отношению к X как внутренность, внешность и граница. При предположении, что пространство снабжено типичной евклидовой метрикой, окрестность точки принимает форму открытого шара. Чтобы признать X сплошным, необходимо, чтобы любая окрестность любой точки была трёхмерной. Точки с окрестностями меньшей величины означают потерю цельности объекта. Однородность по размерности окрестностей гарантирована для класса замкнутых регулярных множеств, определённых как множества, равные замыканию их внутренности. Любое множество может быть преобразовано в замкнутое регулярное множество (регуляризовано) путём замыкания его внутренности, а потому пространство моделирования цельных объектов математически определяется как пространство замкнутых регулярных подмножеств (по теореме Гейне — Бореля из этого следует, что все сплошные тела являются компактными множествами). Кроме того требуется, чтобы сплошные тела были замкнуты относительно операций над множествами: объединение, пересечение и разность (чтобы гарантировать свойство твёрдости после добавления или удаления материала). Применение стандартных булевых операций к регулярным множествам может не дать замкнутое регулярное множество, но эта проблема может быть решена путём регуляризации результата стандартных булевых операций . Регуляризованные операции над множествами обозначаются как и .

Комбинаторное описание множества как сплошного использует представление X в виде ориентированного клеточного комплекса, так что ячейки обеспечивают конечные пространственные адреса для точек в несчётном континууме. Класс ограниченных подмножеств евклидова пространства замкнут относительно булевых операций (стандартных и регуляризованных) и обладает дополнительным свойством — любое полуаналитическое множество может быть на набор непересекающихся ячеек размерностей 0,1,2,3. Триангуляция полуаналитического множества в набор точек, отрезков, треугольных граней и тетраэдральных элементов является часто применяемым примером стратификации. Комбинаторная модель твёрдости затем завершается указанием, что вдобавок к требованию, чтобы подмножества были полуаналитичными и ограниченными, требуется, чтобы тела были трёхмерными топологическими иногогранниками, в частности, трёхмерными ориентируемыми многообразиями с краем. В частности, из этого следует, что эйлерова характеристика комбинаторной границы многогранника равна 2. Комбинаторная многообразная модель сплошного тела гарантирует также, что граница тела разбивает пространство в точности на две компоненты как следствие теоремы Жордана — Брауэра, тем самым исключая множества с немногообразными окрестностями, которые считаются невозможными для изготовления.

Точечная и комбинаторные модели твёрдых тел полностью совместимы друг с другом, могут использоваться взаимозаменяемо, опираясь на свойства непрерывности или на комбинаторные свойства по необходимости, и могут быть распространены на любую размерность n. Основное свойство, обеспечивающее эту совместимость, заключается в том, что класс замкнутых регулярных подмножеств в точности совпадает с однородно n-мерными топологическими многогранниками. Поэтому любое n-мерное тело может быть однозначно представлено его границей, а граница имеет комбинаторную структуру n−1-мерного многогранника, имеющего однородных n−1-мерных соседей.

Схемы представлений Любая схема представления трёхмерных тел, основанная на принятых математических свойствах, является методом фиксации информации о классе полуаналитических подмножеств евклидового пространства. Это означает, что все представления являются различными способами организации одних и тех же геометрических и топологических данных в форме структуры данных. Все схемы представлений организованы в терминах конечного числа операций над множеством примитивов. Таким образом, пространство моделирования любого конкретного представления конечно, а любая отдельная схема представления может оказаться недостаточной для представления всех типов объектов. Например, трёхмерные тела, определённые комбинациями регуляризованных булевых операций, не могут быть всегда представлены как выметание примитивом, движущемся по траектории в пространстве, за исключением очень простых случаев. Это вынуждает современные системы геометрического моделирования поддерживать несколько схем представлений объёмных тел и позволять эффективное преобразование из одной схемы в другую.

Ниже приведён список общих техник, используемых для создания или представления моделей твёрдых тел. Современное программное обеспечение моделирования может использовать комбинацию этих схем для представления трёхмерного тела.

Клонирование примитивов Эта схема основывается на понятии семейств объектов, в которых каждый член семейства отличается от другого члена лишь несколькими параметрами. Каждое семейство объектов называется основным примитивом, а индивидуальные объекты семейства называются представителями примитивов. Например, семейство болтов является основным примитивом, а конкретный болт, удовлетворяющий определённому набору параметров, является представителем примитива. Различающиеся характеристики простых схем параметрической конкретизации мешают комбинировать частные варианты примитивов для представления новых более сложных объектов. Другим главным недостатком этой схемы является сложность написания алгоритмов вычисления свойств представляемого схемой тел. Приличное количество специфичной для семейства информации должно быть встроено в алгоритмы, а потому каждый общий примитив должен обрабатываться специальным образом, не позволяющим единообразного подхода.

Нумерация пространственного заполнения Схема нумерации пространственного заполнения (), по существу, является списком пространственных ячеек, занятых телом. Ячейки, которые называются также вокселами, представляют собой кубики фиксированного размера, которые расположены в фиксированной пространственной решётке (возможны и другие многогранные решётки, но решётка кубов самая простая). Каждая ячейка может быть представлена координатами одной точки, например, центром куба. Обычно предполагается определённый порядок просмотра и соответствующее упорядоченное множество координат называется пространственным массивом (). Пространственные массивы являются ясными и однозначными представлениями трёхмерных тел, но они слишком велики для использования в качестве «главного» или определяющего представления. Они могут, однако, представлять грубую аппроксимацию частей и могут быть использованы для улучшения производительности геометрических алгоритмов, особенно в случае, когда они используются вместе с другими представлениями, такими как конструктивная сплошная геометрия.

Сотовая декомпозиция Эта схема проистекает из комбинаторных (алгебраических и топологических) описаний сплошных тел, разобранных выше. Тело может быть представлено его разбиением на ячейки. Схемы нумерации пространственного заполнения являются частным случаем сотовых декомпозиций, в которых все ячейки являются кубиками, лежащими в регулярной решётке. Сотовые декомпозиции обеспечивают удобный способ вычисления некоторых топологических свойств сплошных объектов, таких как связность (число кусков) и род (число дыр). Сотовые декомпозиции в виде триангуляризаций являются представлениями, используемыми в трёхмерном методе конечных элементов для числового решения дифференциальных уравнений в частных производных. Другие сотовые декомпозиции, такие как регулярная Уитни или декомпозиции Морса, могут быть использованы для приложений в планировании движения робота.

Граничное представление