Нелинейная задача собственных значений — это обобщение обычной задачи собственных значений до уравнений, зависящих от собственных значений нелинейно. В частности, эта задача относится к уравнениям вида
где x — вектор (нелинейный «собственный вектор»), а A — функция, отображающая число (ненулевое «собственное значение») в матрицу. (В наиболее общем случае может быть линейным отображением, но чаще всего это конечномерная, как правило квадратная, матрица). От A обычно требуется, чтобы функция была голоморфной от (в некоторой области определения).
Например, обычная задача собственных значений , где B — квадратная матрица, соответствует функции , где E — единичная матрица.
Часто в качестве A появляется лямбда-матрица (матрица многочленов), и тогда задача называется полиномиальной задачей собственных значений. В частности, когда многочлены имеют степень два, задача называется квадратичной задачей собственных значений и может быть записана в виде
в терминах постоянных квадратных матриц . Такие задачи широко распространены в области динамического анализа механических конструкций. В этом случае обычно матрица жёсткости и матрица масс являются симметричными положительно (полу)определёнными матрицами. Ещё одним важным источником задач такого вида является моделирование вибраций вращающихся конструкций. Задача может быть сведена к обычной линейной обобщённой задаче собственных значений удвоенного размера путём определения нового вектора . В терминах x и y квадратичная задача превращается в
где E — единичная матрица. В более общем случае, если A является матрицей многочленов порядка d, задачу можно свести к линейной (обобщённой) задаче собственных значений d-кратного размера.
Методы решения Методы решения можно разделить на 3 группы Методы линеаризации с полиномиальной или рациональной матрицей. В результате линеаризации получают задачу с пучком матриц большого порядка. Такие методы нацелены на поиск небольшого количества интересующих собственных значений и собственных векторов. Методы уточнения. В данный класс попадает большинство существующих методов решения задачи (метод Кублановской, метод обратной итерации и его разновидности и др.). Суть методов состоит в последовательном поиске собственного значения из начального приближения. Сюда входят метод Мюллера и метод Ньютона (классический представитель класса методов первого порядка), методы Халлея и Лагерра (методы второго порядка). Методы отделения корней. Сюда входят методы, основанные на поиске корней детерминантного уравнения. Методы данной группы используются для поиска приближений к собственным значениям.
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра