Квадратичная задача собственных значений (КЗСЗ) — это задача поиска скалярных собственных значений , левых и правых собственных векторов и , таких что
где функция (с матрицами в качестве значений) , а коэффициенты являются матрицами . Мы также требуем, чтобы . Имеется собственных значений, которые могут быть конечными или бесконечными, а возможно и нулевыми. Задача является частным случаем нелинейной задачи собственных значений. Функция известна также как квадратный матричный многочлен.
Приложения КЗСЗ может быть получена в динамическом анализе структур, дискретизированных методом конечных элементов. В этом случае квадратный многочлен имеет вид , где является матрицей масс, является , а является матрицей жёсткости. Другими приложениями являются виброакустика и динамика жидкостей.
Методы решения Прямые методы решения стандартной или обобщённой задач собственных значений и основываются на преобразовании задачи к форме Шура или обобщённой форме Шура. Для квадратичных матричных многочленов, однако, аналогичной формы нет. Одним из подходов является преобразование квадратичного матричного многочлена в линейный пучок матриц () и решение обобщённой задачи собственных значений. После того, как собственные значения и собственные вектора линейной задачи определены, можно найти собственные значения и собственные вектора квадратичной задачи.
Наиболее часто используется линеаризация
где — единичная матрица, вместе с собственным вектором
Мы решаем уравнение по и , например вычисляя обобщённую форму Шура. Затем мы можем взять первые элементов вектора в качестве собственного вектора исходной квадратичной функции .
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра