Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа со следующим свойством: для любого существует такое, что и для разложенияСогласно общей теории непрерывных дробей, такое разложение единственно.:

выполняются неравенства: .

В наиболее сильной формулировке фигурирует значение для произвольного и значение для достаточно больших ., с. 69.

Гипотезу выдвинул Станислав Заремба-младший в 1972 году. Главный прорыв в её исследовании связан с работой Бургейна и 2014 года, в которой слабый вариант гипотезы доказан для почти всех чисел. Впоследствии их результаты многократно улучшались.

Мотивация Исторически гипотеза возникла в связи с поиском оптимального способа численного интегрирования в духе метода Монте-Карло. Через ограничение на неполные частные Заремба оценивал характеристику решётки, описывающую минимальную удалённость её точек от центра координат, с. 988—989, см. также описание понятия «good lattice points» на с. 986. Ряд советских математиков также задумывались об этой гипотезе в связи с численным интегрированием, но в печатном виде её нигде не заявляли, с. 88.

Сама постановка задачи связана с диофантовыми приближениями. Для приближения произвольного вещественного числа дробью каноническим мерилом качества считается число , для которого (чем больше , тем лучше приближение). Известно, что рациональные лучше всего приближаются своими подходящими дробями , для которых известна оценка . Поскольку , то при наличии безусловной оценки предыдущая оценка не может быть лучше, чем . Легко получить и аналогичную (с точностью до константы) оценку снизу, поэтому гипотеза Зарембы — это в точности утверждение о существовании несократимых плохо приближаемых дробей с любым знаменателем., с. 25, лемма 5

Обобщения

«Алфавиты» значений неполных частных Часто рассматривается более общий вопрос, раздел 1: как зависят свойства  (множества знаменателей , для которых существуют несократимые дроби с условием для всех ) от алфавита (конечного множества натуральных чисел)? В частности, для каких множество содержит почти все или все достаточно большие ?

Гипотеза Хенсли Хенсли в 1996 году рассмотрел связь ограничений на неполные частные с хаусдорфовой размерностью соответствующих дробей, и выдвинул гипотезу, которая впоследствии была опровергнута, гипотеза 3:

Множество содержит все достаточно большие числа тогда и только тогда, когда ( — множество дробей из интервала , все неполные частные которых лежат в алфавите ,  — хаусдорфова размерность.

Контпример, см. гипотезу 1.3 и комментарий после неё построен для алфавита : известно, что , но в то же время .

Бургейн и Конторович предложили более слабую форму этой гипотезы, связанную со знаменателями , на которые наложены дополнительные ограничения. При этом они доказали её плотностную версию для более сильного ограничения, чем , гипотеза 1.7, теорема 1.8.

Вычисление хаусдорфовой размерности Вопрос вычисления хаусдорфовой размерности для алфавитов вида рассматривался в теории диофантовых приближений задолго до гипотезы Зарембы и, видимо, берёт начало с работы 1928 годаСм. второй абзац в . В статье, где была предложена гипотеза, Хенсли описал общий алгоритм с полиномиальным временем работы, основанный на следующем результате, теорема 3: для заданного алфавита значение можно вычислить с точностью всего за операций.

Существует гипотеза, что множество значений таких размерностей всюду плотно. Из компьютерных вычислений известно, что расстояние между его соседними элементами по крайней мере не меньше , см. обзор вычислительных результатов в разделе 4, а результат о плотности распределения значений в разделе 5.

Для алфавитов из подряд идущих чисел Хенсли получил оценку:

.

В частности, установлено, что: .

Этот факт существенно использовался в доказательстве центрального результата Бургейна и Конторовича, замечание 1.11.

Продвижения

Слабые точные результаты Нидеррейтер доказал гипотезу для степеней двойки и степеней тройки при и для степеней пятёрки при .

Рукавишникова, развивая простой результат Коробова, показала существование для любого дроби с условием , где  — функция Эйлера, с. 23, раздел 5.1.

Плотностные результаты Наиболее сильным и общим является результат Бургейна и Конторовича:

,

то есть что гипотеза Зарембы с параметром верна для почти всех чисел. Их результат касался не только этого алфавита, но и любого другого с условием , замечание 1.20. Впоследствии их результат был улучшен для и остаточного члена , где  — константа.

Для более слабых ограничений тот же метод позволяет показать, что множество имеет положительную плотностью. В частности, из дальнейших улучшений известно, что это верно когда , в том числе для .

Оценки с хаусдорфовой размерностью Хенсли показал, что если , то . Позже Бургейн и Конторович улучшили это неравенство до показателя вместо ., замечание 1.15, теорема 1.23 Для отдельных интервалов значений позже были получены более сильные оценки. В частности, известно, что и что при показатель степени стремится к единице, см. там же обзор результатов для других значений .

Общее число дробей над тем или иным алфавитом со знаменателями, не превышающими , с точностью до константы равно , замечание 1.13.

Модулярная версия Хенсли обнаружил, что знаменатели дробей, удовлетворяющих гипотезе Зарембы, равномерно распределены (с учётом кратности) по любому модулю. Из этого, в частности, следует существование таких дробей со знаменателями, равными нулю (и любому другому знчению) по тому или иному модулю.

Следствие из результата Хенсли (1994): для любого существует функция такая, что для любого : существует несократимая дробь , неполные частные которых ограничены .

При это утверждение было бы эквивалентно гипотезе Зарембы. Позже для простых были получены оценки скорости роста в экстремальных случаях:

для некоторой константы верно, что , теорема 2;

для любого существует достаточно большое такое, что , теорема 5.

Методы исследования Современные методы, восходящие к статье Бургейна и Конторовича, рассматривают гипотезу Зарембы на языке матриц размера 2x2 и изучают соответствующие свойства матричных групп. Благодаря соотношению подходящих дробей разложение может быть записано как произведение матриц:

,

где звёздочками в первой матрице закрыты числа, значение которых не существенно.

Руководствуясь этим, изучается группа, порождённая матрицами вида: , на наличие в ней матриц с тем или иным значением в нижней правой позиции. Для анализа распределения таких значений используются тригонометрические суммы, а именно — специальные аналоги коэффициентов Фурье.

Использование такого инструментария, а также работа фактически со множествами произведений (где элементы множества — матрицы) придаёт задаче арифметико-комбинаторный характер.

Примечания

Литература

Категория:Теория чисел Категория:Диофантовы приближения Категория:Непрерывная дробь Категория:Арифметическая комбинаторика