Обобщённый собственный вектор матрицы — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов.
Пусть будет -мерным векторным пространством. Пусть будет линейным отображением в , множества всех линейных отображений из в себя. Пусть будет матричным представлением отображения для некоторого упорядоченного базиса.
Может не существовать полного набора линейно независимых собственных векторов матрицы , которые образуют полный базис для . То есть, матрица не может быть диагонализирована. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы , или размерность его ядра). В этом случае называется , а сама матрица называется .
Обобщённый собственный вектор , соответствующий , вместе с матрицей образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства .
Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для . Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» в жордановой нормальной форме, подобной матрице , что применяется при вычислении определённых матричных функций от . Матрица также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений , где не обязательно диагонализируема.
Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению , равна алгебраической кратности .
Обзор и определение Имеется несколько эквивалентных путей определения обычного собственного вектора. Для наших целей собственным вектором , ассоциированным с собственным значением матрицы , является ненулевой вектор, для которого , где является единичной матрицей, а является нулевым вектором длины . То есть, является ядром преобразования . Если имеет линейно независимых собственных векторов, то подобна диагональной матрице . То есть, существует невырожденная матрица , такая что диагонализируема с помощью преобразование подобия . Матрица называется матрицы . Матрица называется матрицы . Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычислены.
С другой стороны, если матрица не имеет линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то не диагонализируема.
Определение: Вектор является обобщённым собственным вектором ранга матрицы , соответствующим собственному значению , если:
но
.
Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором. Любая матрица имеет линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице в жордановой нормальной форме. То есть, существует обратимая матрица , такая что . Матрица в этом случае называется матрицы . Если является собственным значением с алгебраической кратностью , то будет иметь линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих . Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от .
Примечание: Для того, что бы матрица над полем могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы должны быть в . То есть, характеристический многочлен должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица состоит из вещественных элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать мнимые значения.
Линейная оболочка всех обобщённых собственных векторов для данного образует обобщённое собственное пространство для .
Примеры Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.
Пример 1 Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебниках. Возьмём матрицу
Тогда имеется только одно собственное значение, , и его алгебраическая кратность .
Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не диагональна. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку наддиагональ содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность ядра матрицы , которая равняется , тогда имеется обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.
Обыкновенный собственный вектор вычисляется стандартным методом (см. статью Собственный вектор). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор путём решения уравнения:
Выписывая значения:
Это выражение упрощается до:
Элемент не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда , где может иметь любое скалярное значение. Выбор является, как правило, простейшим.
При этом:
так что является обобщённым собственным вектором,
так что является обычным собственным вектором, а и являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства .
Пример 2 Следующий пример несколько сложнее примера 1, но также небольшого размера. Матрица
имеет собственные значения и с алгебраическими кратностями и , но геометрические кратности будут равны и.
Обобщённое собственное подпространство матрицы вычисляется ниже. является обычным собственным вектором, ассоциированным с . является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с . является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с . и являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с .
Получаем базис для каждого из обобщённых собственных пространств матрицы . Вместе линейные комбинации двух цепочек обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:
«Почти диагональная» матрица в жордановой нормальной форме, подобная , получается следующим образом:
где является матрицы , столбцы матрицы являются матрицы , и .
Цепочки Жордана Определение: Пусть будет обобщённым собственным вектором ранга , соответствующим матрице и собственному значению . Цепочка, образованная вектором — это набор векторов , определённых выражением:
Тогда:
Вектор , заданный формулой (), является обобщённым собственным вектором ранга , соответствующим собственному значению . Цепочка является набором линейно независимых векторов.
Канонический базис
Определение: Набор линейно независимых обобщённых собственных векторов является каноническим базисом, если набор полностью состоит из цепочек Жордана.
Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга находится в каноническом базисе, то векторов , находящихся в цепочке Жордана, образованной , также находятся в каноническом базисе.
Пусть будет собственным значением матрицы с алгебраической кратностью . Найдём (матричные) ранги матриц . Целое число определяется как первое число, для которого имеет ранг (здесь равно числу строк или столбцов матрицы , то есть, матрица имеет размер ).
Далее определим:
Переменная обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга , соответствующих собственному значению , которые появятся в каноническом базисе матрицы . При этом:
.
Вычисление обобщённых собственных векторов В предыдущих разделах представлены техники получения линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства , ассоциированного с матрицей . Эти техники могут быть собраны в процедуре:
Решаем характеристический многочлен матрицы , чтобы получить собственные значения и их алгебраические кратности ; Для каждого : Определяем ; Определяем ; Определяем для ; Определяем каждую жорданову цепь для .
Пример 3 Матрица
имеет собственное значение с алгебраической кратностью и собственное значение с алгебраической кратностью , при этом . Для каждого выполняется: .
Первое целое , для которого имеет ранг , равно .
Далее определяем:
Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий , такой что:
но:
Выражения () и () представляют линейную систему, которую можно решить относительно . Пусть
Тогда:
и
Тогда, чтобы удовлетворить условиям () и (), необходимо иметь и . Никакие ограничения не накладываются на и . Выбрав , получим:
как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий . Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения , и при . Сделанный выбор, однако, самый простой.
Теперь, используя равенства (), получим и как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:
и
Некратное собственное значение может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:
Каноническим базисом матрицы будет:
и будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с , в то время как является обычным собственным вектором, ассоциированным с .
Это довольно простой пример. В общем случае количества линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значений.
Обобщённая модальная матрица
Пусть является матрицей. Обобщённая модальная матрица для — это матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы и появляются в по следующим правилам:
Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы . Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы . Каждая цепочка появляется в в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.).
Жорданова нормальная форма
Пусть является -мерным векторным пространством. Пусть будет линейным отображением из ), множества всех линейных отображений из в себя. Пусть будет матричным представлением для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен матрицы разлагается на линейные множители, так что имеет вид:
где являются различными собственными значениями , то каждое является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения , а подобна матрице в жордановой нормальной форме, где каждая появляется раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой (то есть, на наддиагонали) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица наиболее близка к диагонализации матрицы . Если матрица диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю . Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагонали.
Любая матрица подобна матрице в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия , где является обобщённой модальной матрицей матрицы (См. Примечание выше).
Пример 4 Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна матрице:
Решение: Характеристическое уравнение матрицы — , следовательно, является единственным собственным значением с алгебраической кратностью . Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:
и