Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы размера через перестановки её элементов:
где — функция знака перестановки в группе перестановок , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.
С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна: .
Формула названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.
Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной , обращающейся в единицу на единичной матрице. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как , полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.
Вычислительная сложность Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу (числу упорядоченных перестановок из элементов). Для больших определитель можно вычислить за операций путём формирования LU-разложения , обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого , где определители треугольных матриц и равняются произведениям диагональных элементов матриц. Однако в практических приложениях вычислительной линейной алгебры явное вычисление определителя используется редко.
См. также
Дифференцирование поисковой функции Формула Лейбница (производной произведения)
Примечания
Литература
Категория:Определители Категория:Готфрид Вильгельм Лейбниц Категория:Линейная алгебра