В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых . Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и , и, в свою очередь, обобщён и .
Определение В кольце однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом: , где — базис из степенных сумм, — централизатор разбиения , а — символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса к базису из функций Шура будет верхнетреугольной.
Более общий вариант задания скалярного произведения приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются и однозначно определяются из следующих трёх свойств:
(P1) (ортогональность) при
(P2) (верхнетреугольность) (имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)
(P3) (нормализация) (суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)
Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.
Рекурсивная формула для многочленов Джека
Функция Джека разбиения числа , с параметром , заданным числом аргументов может также быть определена следующей рекурсивной формулой:
Для m=1
Для m>1
где суммирование производится по всем разбиениям таким что косое разбиение является горизонтальной полосой, а именно ( должно равняться 0, иначе ) и
где равняется если и иначе. Выражения и обозначают сопряжённые разбиения и соответственно. Обозначение значит, что произведение берётся по всем координатам ячеек в диаграмме Юнга разбиения .
Комбинаторная формула В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи получили чисто комбинаторную формулу для многочленов Джека от n переменных:
Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы и
где
Допустимая таблица формы это заполнение диаграммы Юнга числами 1,2,…,n такими, что для каждой ячейки (i,j) в таблице, , если , если и
— множество критических ячеек , таких что и
Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.
C нормализация Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:
Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как
где
Для обычно обозначается и называется .
P нормализация P нормализация задаётся тождеством , где
где и обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при является обычной функцией Шура.
Подобно многочленам Шура, может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра .
Таким образом, формула для функций Джека задаётся как
где сумма берётся по всем таблицам формы , и обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.
Вес можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы может быть представлена как последовательность разбиений
где обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда
где
и произведение берётся только по всем ячейкам s в , таким что s имеет ячейку из в том же ряду, но не в одном столбце .
Связь с многочленами Шура При многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура
где
произведение берётся по всем длинам крюков разбиения .
Характеры Джека
Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения называются характерами Джека:
Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:
где — число ячеек слева от s в диаграмме Юнга, — над s, — централизатор разбиения , равный
Свойства характеров Джека:
Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от . Соотношение ортогональности. При характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы ( , где ), откуда они и получили своё название.
Свойства Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:
, если
Аргумент матрицы Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если матрица с собственными значениями , тогда
Примечания
Ссылки . .
. Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman. MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package) SAGE documentation for Jack Symmetric Functions
Категория:Ортогональные многочлены Категория:Специальные функции Категория:Симметрические функции