Лемма Ка́льмана — По́пова — Якубо́вича — один из основополагающих результатов в области теории управления, связанный с устойчивостью нелинейных систем управления и линейно-квадратичной оптимизацией.
Лемма имеет репутацию одного из наиболее трудных для доказательства результатов в теории управления. Существуют доказательства с помощью методов алгебры, комплексного анализа, оптимального управления и выпуклого программирования.
Названия Лемма встречается в литературе под различными названиями: лемма Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича — Попова (в англоязычных публикациях часто заменяется на «KYP lemma»). Частные случаи этого утверждения известны как лемма о положительно-вещественных матрицах () и лемма об ограниченно-вещественных матрицах (). В. А. Якубович в своих работах называл этот результат «частотной теоремой».
Формулировка Пусть — множество чисто мнимых чисел, — спектр матрицы , — единичная матрица размера , — эрмитово сопряжение. Пусть также пара матриц и управляема. Тогда для любой эрмитовой матрицы равносильны следующие утверждения: Выполнено частотное условие Попова, то есть для всех
Существует эрмитова матрица такая, что
Существует решение уравнения Лурье, то есть существуют матрицы и такие, что
Если матрицы , и вещественные, то и матрицы , могут быть выбраны вещественными. Для того чтобы выполнялись соответствующие равносильные условия со строгими неравенствами, достаточно потребовать, чтобы матрица была гурвицевой.
Вариации и обобщения Используя дробно-линейное преобразование, можно показать, что лемма остаётся верной, если является произвольной прямой или окружностью на комплексной плоскости.
Аналогом леммы для случая дискретной системы управления служит лемма Кальмана — Сегё.
Лемма тесно связана с такими вопросами теории управления, как разрешимость алгебраического уравнения Риккати и неущербность , используется в теории адаптивного управления и стохастических систем.
Связь леммы с задачами линейно-квадратичной оптимизации послужила основой для создания бесконечномерных вариантов леммы, которые впоследствии стали находить применение при исследовании систем управления, описываемых различными уравнениями в частных производных.
Обобщение леммы на случай упорядоченных полей основывается на решении 17-й проблемы Гильберта.
История Лемма была впервые сформулирована и доказана В. А. Якубовичем в 1962 году для случая строгого частотного неравенства. Случай нестрогого частотного неравенства и его связь с разрешимостью уравнений Лурье были рассмотрены в 1963 году Р. Кальманом. В обеих статьях рассматривались системы со скалярным входом. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Ф. Р. Гантмахером и В. А. Якубовичем и, независимо, .
Примечания
Категория:Теория управления