Равномерная плотность — свойство семейства мер; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность.
Определение Пусть — Хаусдорфово пространство, и пусть — сигма-алгебра на , включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть — семейство мер, определенных на . Семейство называется равномерно плотным, если для любого существует компактное подмножество в , такое, что для всех мер выполняется неравенство
здесь — это вариация меры .
Замечания Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как
Если равномерно плотное семейство состоит из одной меры , то сама мера называется плотной. Если — это -значная случайная величина, у которой распределение является плотной мерой на , то говорят, что радонова случайная величина.
Примеры Любое семейство мер на компактном метризуемом пространстве равномерно плотна. Это не обязательно верно для неметризуемых пространств. Если — польское пространство, то любая вероятностная мера плотна. Согласно теореме Прохорова, семейство вероятностых мер на равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.
Литература Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
Категория:Теория меры