Формула Сильвестра, матричная теорема Сильвестра (названа именем Дж. Дж. Сильвестра) или интерполяция Лагранжа — Сильвестра выражает аналитическую функцию матрицы как многочлен от в терминах собственных значений и векторов матрицы . Теорема гласит следующее: ,
где — собственные значения матрицы , а матрицы
являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы , представляющими собой проекции многочленов Лагранжа этой матрицы.
Условия Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы с различными собственными значениями и любой функции f, определённой на подмножестве комплексных чисел, для которой f(A) определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение находится в области определения , причём если его кратность , то оно находится внутри области определения, а сама функция дифференцируема () раз в точке .
Пример
Рассмотрим матрицу порядка 2: .
Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть: .
Формула Сильвестра тогда сводится к: .
Например, если определяется выражением , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу как: .
Обобщение Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случай , где .
Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер: , где являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы .
См. также Присоединённая матрица Резольвента интегрального уравнения
Примечания
Литература
Категория:Матрицы