Гипотеза Кёте — проблема в теории колец, остающаяся открытой по состоянию на 2024 год. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R — кольцо. Одна из формулировок гипотезы: если R не имеет , отличного от , тогда оно не имеет одностороннего ниль-идеала, отличного от .
Вопрос поставил в 1930 году Готтфрид Кёте (1905–1989). Было показано, что гипотеза Кёте верна для различных классов колец, таких как и правые нётеровы кольца, но общее утверждение остаётся недоказанным.
Эквивалентные формулировки Гипотеза имеет несколько различных формулировок: В любом кольце сумма двух левых ниль-идеалов является ниль-идеалом. В любом кольце сумма двух односторонних ниль-идеалов является ниль-идеалом. В любом кольце любой левый или правый ниль-идеал кольца содержится в кольца. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом для любого n. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал является ниль-идеалом . Для любого кольца R верхний ниль-радикал является набором матриц с элементами из верхнего ниль-радикала кольца R для любого положительного целого n. Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R многочлены с переменной x и коэффициентами из J лежат в радикале Джекобсона полиномиального кольца R[x]. Для любого кольца R радикал Джекобсона R[x] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего ниль-радикала кольца R.
Связанные проблемы Гипотеза Амицура гласит: «Если J является ниль-идеалом в R, то J[x] является ниль-идеалом в полиномиальном кольце R[x]». Если эта гипотеза верна, то она помогла бы доказать гипотезу Кёте посредством эквивалентных приведенных выше утверждений, однако Агата Смоктунович предоставила контрпример. Хоть это и не опровергает гипотезу Кёте, но формирует подозрение в её неверности.
В статье Кегеля было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подколец, само нильпотентно. Возникает вопрос, можно ли заменить здесь «нильпотентных» на «локально нильпотентных» или «ниль-колец». Частичный прогресс был, когда Келарев привёл пример кольца, не являющегося ниль-кольцом, но являющегося суммой двух локально нильпотентных колец. Это показывает, что вопрос Кегеля о замене на «локально нильпотентных» имеет отрицательный ответ.
Сумма нильпотентного подкольца и ниль-подкольца всегда является ниль-кольцом.
Примечания
Литература
Ссылки PlanetMath page Survey paper (PDF)
Категория:Теория колец Категория:Математические гипотезы Категория:Открытые математические проблемы