Аксио́ма зави́симого вы́бора — одно из ослаблений аксиомы выбора. Обычно обозначается как . Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора () и влечёт за собой аксиому счётного выбора (), таким образом, в (аксиоматике Цермело — Френкеля) .
Формулировка: если задано произвольное непустое множество с полным слева отношением (отношение называется полным слева, если для любого существует , что ), то существует такая последовательность элементов , что: .
Следующие утверждения эквивалентны в аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях; теорема Лёвенгейма — Скулема (в сильном варианте для счётных или конечных сигнатур); лемма Цорна для конечных цепей. У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки: если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.; если в частично упорядоченном множестве все вполне упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент. (Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в .)
Обобщения Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей: если в формулировке аксиомы зависимого выбора допустить не только счётные последовательности, но и трансфинитные, можно получить усиление этой аксиомы.
Пусть — некоторый ординал. Обозначим за множество всех трансфинитных последовательностей длины меньше . Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей формулируется для определённого начального ординала и обозначается как .
Пусть задано непустое множество и полное слева бинарное отношение . Тогда утверждает, что существует трансфинитная последовательность длины такая, что .
Аксиома эквивалентна . Обобщения же для больших ординалов строго сильнее её, но слабее полной аксиомы выбора: . Выполнение же для любых начальных ординалов эквивалентно полной аксиоме выбора: .
Для аксиом есть соответствующие им эквивалентные ослабления леммы Цорна: если в частично упорядоченном множестве все цепи вполне упорядочены, имеют порядковый тип меньше и имеют верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент; если в частично упорядоченном множестве каждая вполне упорядоченная цепь имеет порядковый тип меньше и имеет верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент.
Примечания
Литература
Категория:Аксиомы теории множеств Категория:Аксиома выбора