В теории чисел, функция Лиувилля — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.
Точнее, пусть — факторизация числа, — простые числа, — натуральные числа. Тогда ().
Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса . Если , где — число, свободное от квадратов, то
Сумма функции по всем делителям является характеристической функцией множества точных квадратов:
Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда
Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к относительно свёртки Дирихле.
Ряды Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как
Кроме того,
Ряд Ламберта функции имеет вид
где — тета-функция Якоби.
Литература
Категория:Арифметические функции Категория:Теория чисел