Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида
или
.
Данные формы эквивалентны, когда обратимо. или управляют итерацией .
Эквивалентность Второе уравнение может быть записано как
Принимая , уравнение можно записать как
Для известной функции задача состоит в решении функционального уравнение для функции , возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как .
Замена переменных для вещественного параметра приводит уравнение Абеля к уравнению Шредера, .
Дальнейшая замена приводит к уравнению , .
Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им)Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, .,
,
например, для ,
. (Обратите внимание, что .)
Функция Абеля дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).
История Изначально уравнение было получено в более общей форме. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализаKorkine, A (1882). «Sur un problème d’interpolation», Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online .
В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно.
Особые случаи Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда .
В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,
,
и так далее,
Решения Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на тогда и только тогда, когда для всех и для всех , , где , функция итерированная раз.
Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точкиDudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis. Аналитическое решение единственно с точностью до константы.
См. также Функциональное уравнение Уравнение Шредера
Повторяющаяся функция Оператор смены
Примечания
Категория:Функциональные уравнения