Группа трилистника — группа узла трилистника, простейшего нетривиального узла. Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп, который возникает в теории кос, алгебраической геометрии и .
История С группой трилистника связана важная проблема теории узлов о неэквивалентности узла трилистника и его зеркального образа (так называемых левых и правых трилистников), поставленная Титце в 1908 году. Данные узлы не удавалось отличить имеющимися на тот момент инструментами, поскольку их группы изоморфны, и это побуждало исследователей к поиску новых методов. Решение проблемы Титце было получено Деном в 1914 году на основе анализа действия автоморфизма группы трилистника, индуцированного зеркальным отражением этого узла, на периферической системе трилистника — его меридиане и параллели.
Определение Группой трилистника называется фундаментальная группа дополнения узла трилистника :
.
Группа трилистника может быть следующим образом задана образующими и соотношениями.
, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид
.
Копредставление Дена, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид
.
Группа трилистника является элементом серии групп торических узлов и зацеплений типа . В частности, она допускает стандартное для этой серии задание
.
Данное задание может быть получено из копредставления Виртингера правилами и , или, что то же самое, и .
Связь с теорией кос Группа трилистника изоморфна группе кос из трёх нитей:
.
А именно, в образующих и копредставление Виртингера принимает вид стандартного копредставления группы кос :
.
Концептуальным объяснением данного изоморфизма является гомотопическая эквивалентность дополнения трилистника и конфигурационного пространства неупорядоченных наборов трёх различных точек на плоскости (см. ).
Связь с алгебраической геометрией Группа трилистника изоморфна локальной фундаментальной группе обыкновенного каспа, или, что приводит к тому же,
,
где . Данный изоморфизм тесно связан с вышеуказанной интерпретацией дополнения трилистника.
Связь с алгебраической К-теорией Группа трилистника изоморфна второй кольца целых чисел:
.
А именно, в образующих и копредставление группы кос принимает вид стандартного копредставления группы с одним соотношением Стейнберга:
.
Пролить свет на данный изоморфизм можно следующим образом.
Дополнение трилистника и фактор специальной линейной группы , рассматриваемой как группа Ли, по решетке гомеоморфны:
.
Универсальное накрытие
является гомоморфизмом групп Ли. Обозначим символом прообраз подгруппы относительно этого гомоморфизма. Иными словами, группа является ядром композиции
.
Данная композиция сама является универсальным накрытием, и следовательно, имеется следующая цепочка изоморфизмов:
.
Получающийся из этой цепочки и универсального накрытия эпиморфизм
переводит образующие и группы трилистника в элементарные матрицы:
,
.
Гомоморфизм не является мономорфизмом. А именно, его ядро является бесконечным циклическим и порождается элементом
.
Свойства Центр группы трилистника, как и группы любого торического зацепления, является бесконечным циклическим, а именно, он порождён элементом
.
В группе кос такому элементу соответствует центральная коса .
Как и для любого узла, абелианизация группы трилистника изоморфна первой группе гомологий дополнения трилистника и является бесконечной циклической:
.
Гомоморфизм абелианизации сопоставляет образующим и число , а образующим и — числа и .
Коммутант группы трилистника является свободной группой ранга два. Это связано с тем, что узел трилистник, как и любое торическое зацепление, является расслоённым. В качестве двухэлементного базиса можно взять, например, элементы и .
Группа трилистника является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Бурау группы кос из трёх нитей является точным.
Факторгруппы
Модулярная группа Факторгруппа группы трилистника по её центру изоморфна модулярной группе:
.
Данный изоморфизм получается из теоремы о гомоморфизме, применённой к композиции
вышеприведённого эпиморфизма и канонической проекцией на факторгруппу группы по её двухэлементному центру . Поскольку образующая данного центра может быть представлена в виде
,
ядро полученного эпиморфизма порождено элементом , и следовательно, совпадает с центром группы трилистника.
Такой эпиморфизм
является примером проективного представления группы трилистника.
См. также Модулярная группа
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория узлов Категория:Комбинаторная теория групп Категория:Теория кос Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Алгебраическая К-теория