Эквиаффи́нная, или унимодуля́рная, геоме́трия (от глат. unus — один и модуль), — геометрия аффинной унимодулярной группы преобразований. Важнейший факт — сохранение площадей и объёмов фигур.
Аналитическое представление аффинной группы на плоскости в неоднородных координатах, имеющее вид , , есть представление также и унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен : .
Поскольку аффинная унимодулярная группа есть подгруппа общей аффинной группы, множество всех объектов эквиаффинной геометрии включает в себя множество всех объектов общей аффинной геометрии. При этом эквиаффинная геометрия имеет объекты, которых нет в общей аффинной геометрии, так как множество инвариантов общей аффинной группы есть подмножество инвариантов аффинной унимодулярной группы.
Площадь треугольника с произвольными вершинами и — абсолютная величина где определитель
Имеет место следующее утверждение: площадь треугольника с тремя любыми вершинами на аффинной плоскости есть инвариант трёх точек унимодулярной аффинной группы.
Отсюда в эквиаффинной геометрии можно определить следующие площади: площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит; площадь криволинейной фигуры равна пределу последовательности площадей многоугольников, сходящихся к фигуре.
Примечания
Источники
Категория:Геометрия