Связанное состояние — это сочетание двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и для его разделения требуется энергия.

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу, что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы в отдельности. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности, состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга.

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние частиц с массами соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее . Нестабильное связанное состояние проявляется в виде полюса со комплекснозначной энергией центра масс.

Примеры

Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона. Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны. Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что , поэтому приведённое ниже неприменимо. Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов). Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены. Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом.

Определение Пусть -конечное пространство с мерой есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством . Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов , оператор плотности и наблюдаемую на . Пусть индуцирована распределением вероятностей относительно . Тогда эволюция

связан (ограничена) по отношению к если

,

где .

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области . Например, используя представление волновой функции, это означает

такой, что

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена . Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием .

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть и разрешим быть оператором координаты. Учитывая компактную и .

Если эволюция состояния «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если для всех , затем не является связанным состоянием по отношению к координате. Если не меняется во времени, то есть для всех , тогда привязано по отношению к положению. В более общем случае: если эволюция состояния «просто движется внутри ограниченной области», то привязано по отношению к координате.

Характеристики Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме.

Состояния, связанные с координатой Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией , то волновая функция удовлетворяет для некоторого

так что экспоненциально затухает при больших . Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в одномерных связанных состояниях Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции. Доказательство Рассмотрим два собственных состояний и с одинаковым собственным значением энергии.

Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт:

которое можно переставить, чтобы получить условие

Поскольку , принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают .

Решение задачи , мы получаем: , что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна.

Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции и такой, что . Затем из уравнения Шрёдингера: мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения

применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки где . Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь поскольку это соответствует решению .

Требования Бозон с массой , передающий слабосвязанное взаимодействие, создаёт потенциал взаимодействия типа Юкавы:

,

где ,  — калибровочная константа связи,

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m1 и m2 боровский радиус системы равен

и даёт безразмерное число

.

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, . Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма бесконечно. Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна , что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как оно составляет массы протона и массы электрона.

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента.

Примечания

Литература

Категория:Квантовая механика Категория:Квантовая теория поля Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами