Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.
Свойства Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше. Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых. В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой ПаннвицPannwitz, E. (1933). Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. Math. Ann. 108(1): 629–672. для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения., а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления. Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла. Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.
Формула Кейли даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени и рода :
Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.
В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Теория узлов