Произведе́ние векторо́в, или перемноже́ние векторо́в () — операция, ставящая в соответствие двум геометрическим векторам новый математический объект (скаляр, вектор или тензор) — произведение векторов. Обычно требуют, чтобы эта операция обладала следующими свойствами: подчиняться законам, аналогичным законам операции умножения чисел; обобщать геометрические и физические операции.
С этих обеих точек зрения в трёхмерном пространстве возможны три операции умножения двух векторов, результатом которых являются: скаляр. Такая операция двух векторов называется скалярным произведением; вектор. Такая операция двух векторов называется векторным произведением; тензор - диада как тензорное произведение двух векторов. Диаду можно понимать оператор, используемый при преобразовании векторных выражений. В этой статье диада не рассматривается.
В трёхмерном пространстве существуют только три различных типа произведений из трёх векторов: скалярное произведение двух векторов умножается на третий вектор — вектор, который называется простейшим произведением трёх векторов; векторное произведение двух векторов умножается векторно на третий вектор — вектор, который называется двойным векторным произведением трёх векторов; векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор — число, которое называется смешанное произведение трёх векторов.
Между этими тремя произведениями трёх векторов имеются две связи: двойное векторное произведение равно разности двух разных простейших произведений трёх векторов; смешанное произведение можно выразить через попарные скалярные произведения своих сомножителей.
Произведения большего, чем три, числа векторов выражаются через произведения двух и трёх векторов.
Произведения двух векторов Скалярное произведение
Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.
Обычно для скалярного произведения векторов и используется одно из следующих обозначений.
или просто и второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния.
В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов и как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними (имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий )(см. рисунок справа вверху):
Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок справа вверху), или наоборот:
Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю.
У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.
Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Определение и свойства Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов из поставлено в соответствие число из того числового поля, над которым задано удовлетворяющее следующим аксиомам. Для любых трёх элементов пространства и любых чисел справедливо равенство: (линейность скалярного произведения по первому аргументу). Для любых справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение. Для любого имеем: , причём только при (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).
Заметим, что из аксиомы 2 следует, что — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным, или неопределённым.
Если не только при , то произведение называется псевдоскалярным.
Из данных аксиом получаются следующие свойства:
коммутативность для вещественных векторов:
дистрибутивность относительно сложения: и инволюционная линейность относительно второго аргумента: (в случае вещественного — просто линейность по второму аргументу); (что совпадает с для вещественного ); ассоциативность по отношению умножения вектора на число для вещественных векторов:
Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:
неассоциативность относительно умножения на вектор: ; ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (определения ниже).
Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: , то есть аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.
Единственность скалярного произведения Оба определения скалярного произведения
кажутся случайными, их естественность никак не мотивирована. Тем не менее целесообразность изучения этой операции основана на простых свойствах скалярного произведения:
Возникает вопрос: существуют ли другие такие же «хорошие» «произведения векторов»? Другими словами, имеются ли другие способы поставить в соответствие двум векторам и такое число , что (1°) (2°) (3°) где кружочек — некоторая операция «умножения векторов».
Кроме того, число должно обладать геометрическим смыслом, то есть если пара векторов и «равна» другой паре векторов и , что означает, что одна пара векторов может быть перенесена на другую пару движением, то тогда имеет место следующее равенство: (4°)
Теорема. Единственность скалярного произведения в трёхмерном пространстве. В геометрии трёхмерного пространства уже три условия (2°), (3°) и (4°) почти однозначно определяют скалярное произведение векторов и , а именно:
где — наименьший угол между векторами, не превосходящий , а — некоторое фиксированное число для данной геометрии.
В трёхмерном пространстве для определения скалярного произведения условие (1°) оказывается без надобности.
Теорема. Единственность скалярного произведения на плоскости. В геометрии плоскости только все четыре условия (1°), (2°), (3°) и (4°) почти однозначно определяют скалярное произведение векторов и , а именно:
На плоскости существует отличное от скалярного псевдоскалярное произведение векторов, которое отвечает условиям (2°), (3°) и (4°), но не условию (1°).
Псевдоскалярное произведение
Псевдоскаля́рное произведе́ние (косо́е произведе́ние; полускаля́рное умноже́ние; квазискаля́рное произведе́ние; ориенти́рованная пло́щадь параллелогра́мма, натя́нутого на ве́кторы и ) () векторов и на ориентированной евклидовой плоскости — число
(иногда ), где — угол вращения (против часовой стрелки, то есть в положительном направлении) от к . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то полагают . В этом определении стоит обратить внимание на то, что понимается под углом . Здесь это не просто обычный угол между векторами, который может принимать значения только от до . Здесь это угол, на который нужно повернуть вектор именно в определённом направлении: против часовой стрелки, и поэтому он может принимать значения от до . Синус такого угла вполне может быть отрицательным, и более того, псевдоскалярное произведение будет менять знак при перемене множителей местами.
Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними. Псевдоскалярное произведение определяется только для двумерных векторов, его аналогом в трёхмерном пространстве является тройное скалярное произведение. Также в некотором смысле аналогом является векторное произведение, из-за чего его иногда тоже неформально называют векторным произведением и обозначают как или .
Свойства Линейность: Здесь , — произвольные вещественные числа. Антикоммутативность: . Выражение в координатах. Пусть задан базис и два вектора, имеющих в нём координаты . Тогда
Эта формула работает как для псевдоскалярного произведения в ориентированной плоскости, так и для неориентированной. Во втором случае под записями и понимаются числовые значения этих псевдоскаляров в базисе . Для частного случая ортонормированного положительно ориентированного базиса (если в неориентированной плоскости, то в произвольном ортонормированном базисе) формула имеет вид:
В отрицательно ориентированном базисе эта формула берётся со знаком минус. Числовое значение псевдоскалярного произведения является инвариантом при всех невырожденных , не включающих отражений. Псевдоскалярное произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы и . Абсолютная величина псевдоскалярного произведения — это площадь такого параллелограмма. Ориентированная площадь треугольника выражается формулой
а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины. Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
где «» и «» соответственно — векторное и скалярное произведение, а — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берётся в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором , образует также правый базис; в противном случае минус. — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением. Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:
Аналогия между скалярным и псевдоскалярным произведениями Между скалярным и псевдоскалярным произведениями существует известный параллелизм, выражающийся в следующем: в близости следующих формул:
и ;
и ;
в следующих следствиях: если , то , и если , то ; если , то , и если , то .
Известный «параллелизм» между перпендикулярностью и параллельностью вытекает из этого параллелизма формул и следствий, что позволяет в определённых теоремах, без нарушения их истинности, слово «перпендикулярный» заменять на слово «параллельный» и наоборот.
Приведём пример подобной теоремы.
Теорема. О пересечении трёх прямых в одой точке. Рассмотрим два разных треугольника и . Пусть прямые, проведённые через вершины треугольника перпендикулярно (параллельно) соответствующим сторонам треугольника (то есть через вершину параллельно (перпендикулярно) стороне и так далее), пересекаются в одной точке . Тогда прямые, проведённые через вершины треугольника перпендикулярно (параллельно) соответствующим сторонам треугольника , пересекаются в одной точке (см. рисунки справа).
Доказательство. Чтобы не повторяться, скалярное или псевдоскалярное произведение векторов и обозначим через .
Пусть , , , , , . Тогда, п условию теоремы, , иначе , аналогично получаем: , ,
Обозначим , где — точка пересечения пока двух прямых и . Осталось доказать, что прямая перпендикулярна (параллельна) прямой . По только что приведённому определению точки получаем следующие равенства: ,