Биголомо́рфное отображе́ниеПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи ― в теории функций нескольких комплексных переменных, обобщение однолистного конформного отображения на случай нескольких комплексных переменных.
В математике для функций одной переменной имеются конформные отображения с хорошими свойствами. Но в случае двух переменных и более конформность отсутствует. Аналог конформного отображения здесь — биголоморфное отображение.
Имеют место следующие синонимы: голоморфный изоморфизм, голоморфизм, псевдоконформное отображение, однолистное отображение, биголоморфизм.
Определение Биголоморфное отображение — отображение области комплексного пространства , , голоморфное в , а также обладающее обратным отображением , которое также голоморфно в .
Области и биголоморфно эквивалентны, , когда имеется биголоморфное отображение на .
Предложение 1. Отображение биголоморфно, если оно голоморфно и взаимно однозначно.
Это предложение иногда используют при определении биголоморфного отображения.
Биголоморфное отображение — голоморфное взаимно однозначное отображение области на область . Любое биголоморфное отображение невырождено в .
Предложение 2. Отображение, обратное к биголоморфному отображению, всегда биголоморфно.
Отсюда следует, что биголоморфное отображение гомеоморфно глобально, а не только локально.
Голоморфный изоморфизм — синоним биголоморфного отображения , при этом области и биголоморфно эквивалентны.
Голоморфный автоморфизм — голоморфный изоморфизм области на себя.
Биголоморфность не совпадает с конформностью уже при . Так, в двумерном комплексном пространстве отображение
биголоморфно, но не конформно. С другой стороны, на комплексной плоскости отображение
конформно, но ни голоморфно, ни антиголоморфно.
Группы голоморфных автоморфизмов Рассмотрим произвольное комплексное пространство . Пусть — его любая область, то есть открытое связное подмножество. Множество голоморфных автоморфизмов области составляют группу автоморфизмов : групповая операция — композиция автоморфизмов , единица группы — тождественное отображение , обратный элемент к – отображение , обратное к .
Богатство группы голоморфных автоморфизмов некоторой области влечёт богатство биголоморфных отображений на неё любой другой области. Это утверждение следует из следующей теоремы.
Теорема 1. Произвольное фиксированное биголоморфное отображение (голоморфный изоморфизм) задаёт групповой изоморфизм по следующей формуле:
Эта теорема показывает, что условие изоморфности групп и голоморфных автоморфизмов необходимо для того, чтобы области и были биголоморфно эквивалентны. Но это условие недостаточно, о чём говорит пример различных плоских колец
группы автоморфизмов которых изоморфны, но сами они конформно не эквивалентны.
Примеры голоморфных автоморфизмов Рассмотрим вопрос о дробно-линейности голоморфных автоморфизмов. Для комплексной плоскости её произвольный голоморфный автоморфизм дробно-линеен, также как и голоморфный автоморфизм круга произвольного радиуса .
Кроме того, для комплексного пространства , , дробно-линейны голоморфные автоморфизмы ограниченных областей: шаров и поликругов произвольного радиуса .
Но при расширение указанных областей на всё комплексное пространство невозможно, поскольку не существует перехода к пределу при из-за того, что имеют место нелинейные голоморфные автоморфизмы, например, треугольное преобразование. При этом для компактифицированных (замкнутых) комплексных пространств и голоморфные автоморфизмы опять суть дробно-линейные преобразования.
Треугольное преобразование Рассмотрим двумерное комплексное пространство .
Треугольное преобразование — преобразование вида
где — любая целая функция одного переменного.
Преобразование, обратное к этому треугольному преобразованию, также есть треугольное преобразование:
Эти преобразования голоморфны в , следовательно, указанное треугольное преобразование есть нелинейный голоморфный автоморфизм в .
Треугольные преобразования образуют группу. В отличие от одномерного случая — комплексной плоскости , группа биголоморфных преобразований комплексного пространства бесконечномерна, поскольку бесконечномерна её подгруппа треугольных преобразований (которых не меньше, чем целых функций, которых не меньше, чем многочленов произвольной степени).
Дробно-линейное преобразование
Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве дробно-линейное преобразование следующего вида: , , .
Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство в комплексное проективное пространство , , , , .
Пусть теперь , — некоторое вложение . Такое вложение отождествляет подмножество с множеством . В алгебраической терминологии это означает, что
и, кроме того, .
Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах: , ,
в матричной форме получим: ,
что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства . Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из определяется точкой. Индекс у группы — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше.
В качестве примера построим дробно-линейное преобразование . Возьмём преобразование , , обратное ему будет , , причём непосредственно выясняются следующие равнозначности: , , что означает, что построено следующее преобразование: .
Примечания
Источники
Категория:Типы функций Категория:Многомерный комплексный анализ Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия