Поликру́гПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар.
Синонимы: полидиск; круговой полицилиндр; шар в поликруговой метрике; шар в -метрике; произведение кругов.
Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть.
Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта.
Определение поликруга Поликруг радиуса с центром в точке — следующее множество точек комплексного пространства произвольной размерности :
. .
Синонимы: полидиск; круговой полицилиндр; шар в поликруговой метрике; шар в -метрике; поликруг с равными радиусами; полицилиндр с равными радиусами; произведение кругов.
Так определённый поликруг — это шар с центром в поликруговой -метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение плоских кругов
радиуса с центрами в точках .
В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса, с центром в точке — это следующее множество точек: .
В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение плоских кругов с разными радиусами и одним центром :
Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть , и единичным радиусом, то есть .
В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точек:
В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования
комплексного пространства.
Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть.
Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта.
Граница поликруга Граница поликруга — множество всех точек, обладающих следующими двумя свойствами: хотя бы одна координата принадлежит границе -го круга; остальные координаты имеют произвольные значения в замкнутых кругах.
Граница поликруга состоит естественным образом из множеств
размерности , поскольку на координат любой точки накладывается одно вещественное условие . Следовательно, и вся граница поликруга .
Остов поликруга — -мерное пересечение всех множеств границы поликруга
которое представляет собой топологическое произведение окружностей.
Бикруг
Определение бикруга Бикруг — поликруг размерности 2. Рассмотрим единичный бикруг радиуса с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражением: .
Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров
если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным.
Граница бикруга Граница единичного бикруга есть трёхмерное тело , причём
тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:
а для тела всё аналогично.
Двумерный остов бикруга есть тор .
Действительно, рассмотрим отображение
которое голоморфно преобразует на двумерный остов некоторый квадрат
у которого, поскольку , отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен тор.
Этот тор , как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей
и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семейств.
Также тор есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров
если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в на трёхмерной сфере .
Геометрическое представление бикруга Один из способов геометрического представления бикруга следующий:
1) выбираем в двумерном комплексном пространстве трёхмерную сферу
2) на сфере фиксируем двумерный тор
3) на тор натягиваем два трёхмерных тела
которые лежат в шаровом слое
4) объединение этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.
Слой бикруга
Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикругов.
Слой бикруга — точечное множество комплексного пространства , который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикруга:
Полиобласть
Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть.
Полиобласть — топологическое произведение следующих в общем случае плоских многосвязных областей:
Синонимы: поликруговая область; обобщённый полицилиндр; полицилиндрическая область.
Если все плоские области односвязны, то в этом случае полиобласть гомеоморфна шару.
Граница полиобласти состоит естественным образом из множеств
размерности .
Остов полиобласти — мерное пересечение всех множеств
которое представляет собой топологическое произведение областей.
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ