Алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли, которая также удовлетворяет закону Лейбница; то есть скобка является дифференцированием. Алгебры Пуассона естественным образом возникают в гамильтоновой механике и играют центральную роль в изучении квантовых групп. Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как пуассоновы многообразия, частными случаями которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона-Ли. Алгебра названа в честь Симеона Дени Пуассона.
Определение Алгебра Пуассона — это векторное пространство над полем K, снабженное двумя билинейными произведениями ⋅ и {,}, обладающее следующими свойствами:
Произведение ⋅ образует ассоциативную K-алгебру. Произведение {,}, называемое скобкой Пуассона, образует алгебру Ли, поэтому оно антисимметрично и подчиняется тождеству Якоби . Скобка Пуассона действует как дифференцирование ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов x, y и z в алгебре имеем {x, y ⋅ z} = {x, y} ⋅ z + y ⋅ {x, z}.
Последнее свойство часто допускает различные формулировки (представления) структуры данной алгебры, как отмечено в приведённых ниже примерах.
Примеры Алгебры Пуассона встречаются в различных ситуациях.
Симплектические многообразия Пространство гладких функций с действительными значениями над симплектическим многообразием образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая гладкая функция H индуцирует векторное поле XH, гамильтоново векторное поле. Тогда для любых двух гладких функций F и G над симплектическим многообразием скобку Пуассона можно определить следующим образом:
.
Это определение отчасти последовательно, поскольку скобка Пуассона выступает в качестве вывода. Аналогично, скобку {,} можно определить как
где [,] — производная Ли . Если симплектическое многообразие — это R2n со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает хорошо известный вид :
Аналогичные соображения применимы к пуассоновым многообразиям, которые обобщают симплектические многообразия, допуская, чтобы симплектический бивектор имел дефицит ранга.
Алгебры Ли Тензорная алгебра алгебры Ли обладает структурой алгебры Пуассона. Очень подробное построение этой структуры дано в статье об универсальных обёртывающих алгебрах .
Построение осуществляется путём сначала создания тензорной алгебры на underlying vector space (лежащем в основе векторном пространстве) алгебры Ли. Тензорная алгебра представляет собой просто дизъюнктное объединение (прямую сумму ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть согласованно поднята до всей тензорной алгебры: она подчиняется как закону произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона после поднятия. Пара произведений {,} и ⊗ образует алгебру Пуассона. Заметим, что ⊗ не является ни коммутативной, ни антикоммутативной: она просто ассоциативна.
Таким образом, мы имеем общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обёртывающая алгебра получается путём модификации структуры алгебры Пуассона.
Ассоциативные алгебры Если A — ассоциативная алгебра, то применение коммутатора [ x, y ] = xy − yx превращает её в алгебру Пуассона (и, следовательно, также в алгебру Ли) AL . Обратите внимание, что полученную AL не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе. При желании можно было бы применить и эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, гораздо большую.
Алгебры вершинных операторов Для алгебры вершинных операторов (V, Y, ω, 1) пространство V/C2(V) является алгеброй Пуассона с {a, b} = a0b и a ⋅b = a−1b. Для некоторых алгебр вершинных операторов эти алгебры Пуассона конечномерны.
Градуировка Z2 Алгебрам Пуассона можно задать Z2-градуировку одним из двух способов. Эти два способа приводят к супералгебре Пуассона и алгебре Герстенхабера. Разница между ними заключается в градуировке самого произведения. Для супералгебры Пуассона градуировка задаётся следующим образом:
тогда как в алгебре Герстенхабера скобка уменьшает оценку на единицу:
В обоих этих выражениях обозначает градуировку элемента ; обычно считается, как может быть разложена на чётное или нечётное произведение порождающих элементов. Алгебры Герстенхабера обычно встречаются в BRST-квантовании .
См. также Скобка Мояля Формула квантования Концевича
Ссылки
Категория:Симплектическая геометрия Категория:Алгебры над кольцами Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами