__NOTOC__ Ле́мма Чеботарёва (; ) — лемма о линейности аналитической функции, принимающей в комплексной плоскости на вещественной оси вещественные значения. Эта лемма была опубликована Н. Г. Чеботарёвым в 1928 году на немецком языке в журнале Mathematische Annalen как вспомогательная для доказательства теоремы Чеботарёва о представлении вещественной мероморфной функции (математическая история построения этой теоремы изложена Чеботарёвым в его «Математической автобиографии»). Здесь сформулирована современная трактовка леммы Чеботарёва, представляющая собой эквивалентную версию, обратную противоположной первоначальной формулировке.
Для упрощения текста леммы Чеботарёва введём понятие целой вещественной функции.
Целая вещественная функция — целая функция, принимающая вещественные значения на вещественной оси.
Лемма Чеботарёва. На комплексной плоскости целая вещественная функция при условии может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде: , где и — вещественные числа.
Замечание. Условие аналитичности функции на всей комплексной плоскости, то есть условие целой функции, можно заменить на более слабое условие аналитичности функции в открытой верхней полуплоскости и её непрерывности в замкнутой верхней полуплоскости (аналогичный случай более слабого условия возникает при формулировке неравенства Коши).
Эта лемма используется, например, при доказательстве линейности голоморфного автоморфизма области Зигеля 1-го рода и пяти других теорем, в том числе вышеупомянутой теоремы Чеботарёва о представлении вещественной мероморфной функции и теоремы Крейна о принадлежности целой функции классу НВ.
Первоначальный вариант леммы Чеботарёва в современных обозначениях записывается в следующем виде: на комплексной плоскости у целой вещественной функции , которая не является линейной функцией, её мнимая часть на верхней полуплоскости принимает произвольно большие значения любого знака.
Примечания Комментарии Термин «лемма Чеботарёва» в английской Википедии ни в каком виде не встречается.
Источники
Литература
Категория:Многомерный комплексный анализ