Симметри́ческая о́бласть () — ограниченная, или хотя бы изоморфная ограниченной, область в комплексном пространстве, каждой точке которой соответствует обратное самому себе аналитическое отображение области, для которого эта точка единственная неподвижная. Формальное определение симметрической области дано ниже.
Синонимы: ограниченная симметрическая область; классическая область.
Это определение обобщается на комплексное многообразие следующим образом.
Симметрическая область — комплексное многообразие, изоморфное ограниченной симметрической области комплексного пространства.
Всего существует четыре бесконечные серии неприводимых симметрических областей, которые привязаны к классическим простым группам Ли, а также две особые (исключительные) области комплексных размерностей 16 и 27.
Все неприводимые области топологически, но не аналитически, эквивалентны комплексному пространству соответствующей размерности.
Несимметрических областей в некотором смысле больше, чем симметрических.
Формальное определение Симметрическая область — ограниченная, или хотя бы изоморфная ограниченной, область в комплексном пространств , каждой точке которого в области соответствует голоморфный автоморфизм со следующими двумя свойствами: только при (единственность неподвижной точки ); при любом (инволютивность автоморфизма ).
Замечание. Условие единственности неподвижной точки можно заменить на более слабое условие её изолированности.
Это определение обобщается на комплексное многообразие следующим образом.
Симметри́ческая о́бласть — комплексное многообразие, изоморфное симметрической области комплесного пространства.
Краткая историческая справка В 1935 году французский математик Эли Картан обнаружил все ограниченные однородные области в комплексном пространстве размерности 2 и 3. Как выяснилось, все они симметрические. В 1936 году Эли Картан также доказал, что все симметрические области однородны.
Но в четырёхмерном комплексном пространстве Эли Картан не смог описать все ограниченные однородные области. Тем не менее он сумел отыскать все ограниченные симметрические области и поставил следующий вопрос: существуют ли ограниченные однородные несимметрические области?
В 1954 году швейцарский математик Арман Борель и в 1955 году французский математик доказали, что любая ограниченная однородная область симметрическая, если в ней транзитивно действует полупростая группа Ли. В 1957 году этот результат был усилен Хано, показавшим, что любая ограниченная область симметрическая, если в ней транзитивно действует унимодулярная группа Ли.
В 1959 году советским, израильским и американским математиком И. И. Пятецким-Шапиро был обнаружен первый пример ограниченной однородной несимметрической области. Выяснилось, что несимметрические области существуют для всех размерностей, начиная с четырёх. Кроме того, он построил полную классификацию ограниченных однородных областей.
Свойства симметрической области Симметрическая область однородна.
Симметрическая область — это эрмитово симметрическое пространство с отрицательной кривизной в .
Как комплексное многообразие симметрическая область имеет группу автоморфизмов — подгруппу группы движений комплексного пространства, причём связная компонента этой группы: есть вещественная полупростая группа Ли без центра; имеет стационарную подгруппу произвольной точки из , причём есть связная компактная группа Ли с одномерным центром.
Как вещественное многообразие симметрическая область комплексной размерности диффеоморфна вещественному пространству размерности .
Таблица неприводимых симметрических областей Любая симметрическая область однозначно представима как прямое произведение неприводимых симметрических областей, ограниченные представители которых перечислены в таблице ниже со следующими обозначениями: I—VI — тип неприводимой симметрической области по Э. Картану; — связная компонента группы автоморфизмов области : — стационарная подгруппа произвольной точки области : , , , — четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли; , — особые случаи простых алгебр Ли; — размерность области ; — натуральные числа; — пространство комплексных матриц размера ; модель — комплексное многообразие как область матричного или точечного комплексного пространства.
+ Неприводимые симметрические области Тип Тип Тип Модель I () .Эквивалентная неограниченнаяобласть II , .Эквивалентная неограниченнаяобласть III .Эквивалентная неограниченнаяобласть IV , .Эквивалентная неограниченнаяобласть V Эквивалентной неограниченнойобласти нет VI Эквивалентная неограниченнаяобласть есть
Классификация неприводимых симметрических областей Предварительные соображения Основные области односвязны и даже топологически различны как подмножества области : граница замкнутой комплексной плоскости пуста, граница открытой копмлексной плоскости состоит из одной точки, граница единичного круга состоит из более чем одной точки, то есть бесконечна, поскольку область связна по определению. Следовательно, области с пустой границей аналитически эквивалентны , а с границей из одной точки аналитически эквивалентны . Одна из основных теорем комплексного анализа — теорема Римана заключается в том, что произвольная односвязная область , граница которой состоит из более чем одной точки, аналитически эквивалентна единичному кругу .
Следовательно, в случае одномерной комплексной плоскости любая ограниченная односвязная область аналитически эквивалентна открытому единичному кругу , для которого наиболее общий аналитический автоморфизм — это некоторое дробно-линейное преобразование , где и — комплексные числа, причём . Эти преобразования образуют вещественную трёхмерную (две комплексные переменные и одно условие на них) группу Ли.
Но в случае комплексного пространства , , неизвестны необходимые и достаточные условия того, чтобы ограниченная область имела бесконечную (или хотя бы нетривиальную) группу аналитических автоморфизмов. Однако проблема решается при следующем дополнительном предположении: на область накладывается естественное ограничение однородности, другими словами, группа аналитических автоморфизмов транзитивна на , то есть содержит преобразования, которые переводят любую точку в любую другую точку.
Для случая французский математик Э. Картан доказал в 1936 году, что любая ограниченная однородная область аналитически эквивалентна одной из двух следующих областей: единичному шару
единичному бикругу
Для случая Картан предположил, что любая ограниченная однородная область аналитически эквивалентна одной из четырёх следующих областей: 1° единичному шару
2° единичному трикругу
3° области
4° области
Для случаев Картан установил, что структура ограниченных однородных областей усложнилась, и добавил ещё одно ограничение, автоматически выполняющееся при а именно: симметричность области. Ограниченная симметрическая область всегда однородна.
Теорема 1 (о симметричности ограниченной области). Ограниченная (s¹) область комплексного пространства симметрична тогда и только тогда, когда она однородна (s²) и для каждой её точки её группа аналитических автоморфизмов включает хотя бы одну инволюцию с этой единственной неподвижной точкой (s³).
Картан классифицировал все ограниченные симметрические области. Для этой классификации достаточно двух действий: приводить только одну область как представителя каждого класса эквивалентных относительно биголоморфных отображений областей; использовать только неприводимые классы областей, то есть тех областей, которые нельзя представить как прямое произведение ограниченных симметрических областей меньшей размерности.
Для случая вообще имеется только один класс, представитель которого — открытый единичный круг .
Для случая имеется только один неприводимый класс, представитель которого — открытый единичный шар .
Для случая имеется только два неприводимых класса, представители которых — области 1° и 4°.
Всего существует шесть типов неприводимых областей, причём два из них особые (исключительные), то есть существуют только для одного значения комплексной размерности — для 16 и 27.
Неприводимые симметрические области типа I Обозначим через и , , натуральные числа. Будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований комплексных переменных, которые не меняют эрмитову форму
где
, — единичные матрицы соответственно размеров и .
Другими словами, будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований с квадратной матрицей , то есть группу комплексных линейных преобразований пространства квадратных комплексных матриц размера , отвечающей равенству
и зависящей от вещественных параметров: на вещественных чисел матрицы накладываются ограничения уравнений с этими числами.
Введём обозначения для числа строк и столбцов матрицы соответственно следующим образом: .
В итоге получаем, что тогда и только тогда, когда .
Рассмотрим теперь произвольную матрицу из строк и столбцов
такую, что квадратная матрица размера , то есть все элементы матрицы больше нуля. Другими словами, — произвольная матрица, а — произвольная матрица такая, что выполняется неравенство .
Биекция переводит множество матриц в себя в силу следующих соотношений: .
Cуществуют обратные матрицы , так как матрицы невырождены, поскольку в противном случае имеется ненулевой вектор размера такой, что , что ведёт к противоречию , где — некоторый вектор.
Предложение 1 (о существовании области ). В пространстве комплексных матриц размера множество матриц образует область .
Доказательство. Действительно, выполняется следующая цепочка неравенств: , или , или , то есть , или .
Предложение 2 (о выполнении условия (s¹)). Множество всех матриц , удовлетворяющих условию , есть ограниченная область в комплексном пространстве размерности .
Доказательство. Для матрицы сумма квадратов модулей всех её элементов не превосходит размерности квадратной матрицы , поскольку каждый элемент на главной диагонали матрицы , равный сумме квадратов модулей всех элементов соответствующей строки матрицы , меньше 1. □
Предложение 3. Область инвариантна относительно группы следующих дробно-линейных преобразований: , где
Доказательство. Рассмотренная выше биекция , , переходит в следующее дробно-линейное преобразование:
. □
Предложение 4. Группа дробно-линейных преобразований
зависит от вещественных параметров.
Доказательство. При переходе в доказательстве предложения 2 от группы матриц к группе дробно-линейных преобразований не учтён один вещественный параметр, ведь если — комплексное число, по модулю равное 1, , , то два преобразования
совпадают. Другими словами, однопараметрическая подгруппа, образованная матрицами вида , где , переходит в тождественное отображение, и эта однопараметрическая подгруппа есть полный прообраз этого тождественного преобразования. □
Предложение 5 (о выполнении условия (s²)). Группа дробно-линейных преобразований
транзитивна в области , то есть эта область однородна.
Предложение 6. Группа дробно-линейных преобразований
включает преобразование , получаемое, когда
где , .
Следствие 1 (о выполнении условия (s³). Эта группа дробно-линейных преобразований включает преобразование — инволюцию с единственной неподвижной матрицей .
В случае получается следующий единичный шар в комплексном пространстве: .
Предложение 7. Группа дробно-линейных преобразований
есть полная группа голоморфных автоморфизмов области .
Предложение 8. При перемене местами и опять будут те же самые область и группа.
Неприводимые симметрические области типа II В обозначениях описания области типа I пусть и введём подгруппу той группы комплексных линейных преобразований комплексных переменных, которая использовалась при описании области типа I, а именно: пусть линейные преобразования не меняют не только эрмитову форму
где
— единичная матрица размера , но линейные преобразования также не меняют следующую квадратичную форму:
где .