Теорема о ручных многообразиях (гипотеза Мардена, гипотезой о ручных концах) — утверждение о том, что любое полное с конечной порождающей фундаментальной группой является . Другими словами, многообразие гомеоморфно внутренности компактного 3-многообразия.
Свойство многообразия быть можно рассматривать как свойство его концов многообразия; аналогичное утверждение хорошо известно для размерности два, то есть, для поверхностей. Однако, как показывает пример рогатой сферы Александера, существуют дикие () вложения среди , так что это свойство не выполняется автоматически. В 1974 году Марден доказал, что любое геометрически конечное гиперболическое 3-могообразие топологически ручное, и в связи с результатом сформулировал гипотезу о том, что ручным является всякое 3-многообразие с конечной порождающей фундаментальной группой.
На протяжении последующих лет были получено множество результатов, приближающих подтверждение гипотезы, в частности, установил важное достаточное условие для свойства быть ручным в терминах расщепления фундаментальной группы.
В 2004 году Аголом и, независимо, и гипотеза полностью доказана. Доказательство Агола опирается на использовании защеплённой отрицательной кривизны (теорема о сфере) и техники «ломки диска» , которая позволила заменить сжимаемый конец на несжимаемый, для которого гипотеза была уже доказана. Доказательство Калегари — Габаи основано на существовании определённой замкнутой поверхности с неположительной кривизной.
Результат стал фундаментальным в геометрии бесконечных гиперболических ; в частности, с её помощью была в 2012 году подтверждена . Также из результата непосредственно следует выполнение , которая была открытой проблемой с 1966 года.
Примечания
Ссылки
Категория:Трёхмерные многообразия Категория:Доказанные математические гипотезы Категория:Геометрия Лобачевского Категория:Теоремы дифференциальной геометрии