Гиперфакториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. В математике, в частности в теории чисел, гиперфакториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до , каждое из которых возведено в степень, равную самому числу.
Определение Гиперфакториал положительного целого числа, обозначаемый , — это произведение вида . Следуя обычному соглашению для пустого произведения, .
Таблица значений 0 1 1 1 2 4 3 108 4 27648 5 86400000 6 4031078400000 7 3319766398771200000 8 55696437941726556979200000 9 21577941222941856209168026828800000 10 215779412229418562091680268288000000000000000 11 61564384586635053951550731889313964883968000000000000000 12 548914237009501581804104224704637116078267727827959808000000000000000
Свойства
Рекуррентная формула Гиперфакториал может быть задан рекуррентной формулой:
Связь с K-функцией
Гиперфакториал связан с K-функцией соотношением . K-функция была введена для обобщения понятия гиперфакториала на множество комплексных чисел, по аналогии с гамма-функцией, которая обобщает факториал. В отличие от гамма-функции, у которой есть неопределённые точки, K-функция определена на всей комплексной плоскости.
Асимптотическая формула Глейшер предложил асимптотическую формулу для гиперфакториала, аналогичную формуле Стирлинга для факториала.
где - постоянная Глейшера — Кинкелина:
Для больших достаточно рассматривать только главный член. Таким образом, более точная аппроксимация:
Данной формулой можно легко вычислить примерное значение гиперфакториала.
1 1 0.998755 0.124475 2 4 3.998656 0.033602 3 108 107.983586 0.015198 4 27648 27645.620901 0.008605 5 86400000 86395227.033581 0.005524
Здесь — модуль относительной погрешности, выраженной в процентах.
Другие свойства Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, для нечётного простого : , где — двойной факториал. , где — суперфакториал. .
История Гиперфакториалы изучались с XIX века Германом Кинкелином и Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером. Как показал Кинкелин, аналогично тому, как факториал можно непрерывно интерполировать с помощью гамма-функции, гиперфакториал интерполируется с помощью K-функции.
См. также Факториал K-функция
Примечания
Ссылки Гиперфакториал на MathWorld OEIS: A002109 — Hyperfactorial numbers
Категория:Специальные функции Категория:Целочисленные последовательности Категория:Факториалы и биномиальные коэффициенты