Алгебра Ли является разрешимой, если её производный ряд заканчивается нулевой подалгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли является подалгеброй , обозначаемой , которая состоит из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов . Производный ряд представляет собой последовательность подалгебр
Если производный ряд в конечном итоге достигает нулевой подалгебры, то такая алгебра Ли называется разрешимой. Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутантных подгрупп в теории групп, а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп.
Любая нильпотентная алгебра Ли является заведомо разрешимой, но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два обширных и в целом дополняющих друг друга класса, как показывает разложение Леви. Разрешимые алгебры Ли – это в точности те, которые могут быть получены с помощью полупрямых произведений, начиная с нуля и добавляя по одному измерению за раз.
Максимальная разрешимая подалгебра называется подалгеброй Бореля. Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом.
Характеристики Пусть — конечномерная алгебра Ли над полем характеристики . Следующие условия эквивалентны.
(1) разрешима. (2) , присоединённое представление , разрешима. (3) Существует конечная последовательность идеалов из :
(4) нильпотентна Proposition 1.39.. (5) Для -мерном пространстве существует конечная последовательность подалгебр из :
с каждым идеал в Proposition 1.23.. Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью .
(6) Существует конечная последовательность подалгебр из ,
такая, что является идеалом в и является абелевым.
(7) Форма Киллинга из удовлетворяет условию для всех в и в Proposition 1.46.. Это критерий разрешимости Картана.
Характеристики Теорема Ли утверждает, что если — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и является разрешимой алгеброй Ли, и если является представлением над , то существует одновременный собственный вектор эндоморфизмов для всех элементов Theorem 1.25..
Каждая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы. Дана алгебра Ли и идеал в нем, разрешима тогда и только тогда, когда оба и разрешимы.
Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли при условии, что содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры посредством разрешимой алгебры является разрешимым, а центральное расширение нильпотентной алгебры посредством нильпотентной алгебры является нильпотентным.
Разрешимая ненулевая алгебра Ли имеет ненулевой абелев идеал – последний ненулевой член в производном ряду. Если являются разрешимыми идеалами, то такова же . Следовательно, если конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал содержащий все разрешимые идеалы в Этот идеал является радикалом . Разрешимая алгебра Ли имеет единственный наибольший нильпотентный идеал , называемый нильрадикалом, множество всех такой что нильпотентна. Если — это любое производное от , затем Proposition 1.40..
Полностью разрешимые алгебры Ли Алгебра Ли называется вполне разрешимым или расщепляемым разрешимым, если он имеет элементарную последовательность идеалов в от к . Конечномерная нильпотентная алгебра Ли полностью разрешимой, а полностью разрешимая алгебра Ли является разрешимой. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых движений плоскости является разрешимой, но не полностью разрешимой.
Разрешимая алгебра Ли является расщепляемо разрешимой тогда и только тогда, когда собственные значения находятся в для всех в .
Примеры
Абелевы алгебры Ли Каждая абелева алгебра Ли разрешима по определению, так как ее коммутатор . Это включает в себя алгебру Ли диагональных матриц в , которые имеют виддля . Структура алгебры Ли на векторном пространстве , заданная тривиальной скобкой для любых двух матриц даёт ещё один пример.
Нильпотентные алгебры Ли Другой класс примеров относится к нильпотентным алгебрам Ли, поскольку присоединённое представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнедиагональные матрицы, например, класс матриц виданазывается алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц. Кроме того, алгебра Ли верхнедиагональных матриц в образуют разрешимую алгебру Ли. Она включает матрицы видаи обозначается .
Разрешимая, но не расщепляемая Пусть - множеством матриц в формеТогда разрешима, но не расщепляема. Она изоморфна алгебре Ли группы переносов и поворотов на плоскости.
Контрпример Полупростая алгебра Ли никогда не разрешима, так как ее радикал , который является наибольшим разрешимым идеалом в , тривиально. страница 11
Разрешимые группы Ли Поскольку термин «разрешимая» в теории групп также используется для обозначения разрешимых групп, существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли. Для группы Ли имеем
завершение обычного производного ряда группы (как абстрактная группа); прекращение замыканий производного ряда; имеющий разрешимую алгебру Ли
Смотрите также Критерий Картана Форма Киллинга Теорема Ли — Колчина
Примечания
Литература
.
Внешние ссылки Статья EoM Алгебра Ли, разрешимая Статья EoM Группа Ли, разрешимая
Категория:Алгебры Ли