Естественное расслоение — это любое локально тривиальное расслоение, связанное с расслоением s-репера. для некоторых . Оказывается, что его переходные функции функционально зависят от локальных изменений координат в базовом многообразии . вместе с их частными производными до порядка не выше .
Понятие естественного расслоения было введено Альбертом Нийенхейсом как современная переформулировка классического понятия произвольного расслоения геометрических объектов.
Определение Пусть обозначают категорию гладких многообразий и гладких отображений и категория гладких -мерные многообразия и локальные диффеоморфизмы . Рассмотрим также категорию расслоенных многообразий и морфизмов расслоений, а также функтор сопоставляющий любому расслоенному многообразию его базовое многообразие.
Естественное расслоение (или функтор расслоения) — это функтор удовлетворяющий следующим трем свойствам:
, то есть является расслоенным многообразием над , с проекцией обозначаемой ; если — открытое подмногообразие, с отображением включения , тогда совпадает с , и является включением ; для любого гладкого отображения такого, что является локальным диффеоморфизмом для любого , тогда функция является гладкой.
Вследствие первого условия происходит естественная трансформация .
Натуральные расслоения конечного порядка Натуральный пучок называется конечного порядка если для каждого локального диффеоморфизма и каждая точка , карта зависит только от струи . Эквивалентно, для любого локального диффеоморфизма и каждая точка , один имеет Естественные пучки порядка совпадают с соответствующими пучками волокон к пучки рамок -го порядка .
Классический результат Эпштейна и Терстона показывает, что все натуральные расслоения имеют конечный порядок.
Примеры Примером натурального расслоения (первого порядка) является касательное расслоение коллектора .
Другие примеры включают кокасательные расслоения, расслоения метрик сигнатуры и пучок линейных связей.
Примечания
Ссылки
Категория:Расслоения Категория:Многообразия Категория:Дифференциальная геометрия и топология