Общая развёртка — это развёртка, которая может быть согнута с образованием разных многогранников. Чтобы развёртка была правильной, не должно быть сторон без «склейки». Примеры таких развёрток в исследовательских работах датируются концом 20 века. Несмотря на это найдено мало примеров. Два класса была глубоко изучены — правильные многогранники и прямоугольные параллелепипеды (кубоиды). Поиск общих развёрток обычно делается либо путём расширенного поиска, либо путём наложения сеток, покрывающих плоскость.
Эрик Демайн, Мартин Демайн, Ито, Любив, Нара и О’Рурке доказали, что любой выпуклый многогранник может быть развёрнут, а затем свёрнут в другой выпуклый многогранник.
Существуют различные типы общих развёрток — строгие развёртки по рёбрам и свободные развёртки. Строгая развёртка относится к развёрткам, у которых различные многранники могут быть получены путём сгибания по тем же сгибам, при этом нет необходимости образовывать новые места сгибания. Свободная развёртка относится к противоположному случаю, когда мы можем создавать как угодно много сгибов для получения другого многогранника.
Кратность общих развёрток означает число таких развёрток для того же самого набора многогранников.
Правильные многогранники Открытая проблема 25.31 в книге Демайна и О’Рурке гласит: Может ли правильный многогранник быть разрезан и развёрнут в многоугольник, который может быть свёрнут в другой правильный многогранник? Например, может ли куб быть разрезан и свёрнут в тетраэдр?
Эту проблему частично решил Сиракава с соавторами с помощью фрактальной развёртки, которая, как предполагается, складывается в тетраэдр и куб. КратностьМногогранник 1Многогранник 2Ссылкатетраэдркуб87тетраэдрСкрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида (J17, М2+А4+М2)37тетраэдрПлосконосый двуклиноид (J84)кубравногранный тетраэдркуб1x1x7 и 1x3x3 кубоидыкубнеправильный октаэдроктаэдрравногранный тетраэдроктаэдрравногранный тетраэдроктаэдртритетраэдрикосаэдрравногранный тетраэдр
Неправильные многогранники
Кубоиды Общие развёртки кубоидов глубоко изучены, главным образом, Уэхарой и его коллегами. К настоящему времени найдены общие развёртки до трёх кубоидов. Однако, было доказано, что существует бесконечно много развёрток, которые могут быть свёрнуты в более чем одино многогранник. ПлощадьКратностьКубоид 1Кубоид 2Кубоид 3Ссылка2264951x1x51x2x32231x1x51x2x30x1x11281x2x4√2x√2x3√230301x1x71x3x3√5x√5x√53010801x1x71x3x334112911x1x81x2x53823341x1x91x3x4465681x1x111x3x546921x2x71x3x55417351x1x133x3x35418061x1x131x3x6543871x3x63x3x358371x1x141x4x56251x3x72x3x564502x2x71x2x106462x2x72x4x47031x1x171x5x570111x2x111x3x8882182x2x101x4x888862x2x102x4x61604x4x8√10x2√10x2√105327x8x142x4x432x13x1617927x8x567x14x382x13x58
Поликубы Первым случаем нахождения общей развёртки поликубов была работа Джорджа Миллера с последующим дополнением Дональда Кнута, кульминацией чего стала головоломка «Кубигами». Она представляет собой развёртку, которая может быть свёрнута во все 7 древовидных тетракуба. Все возможные общие развёртки вплоть до пентакуба были найдены. Все найденные развёртки следуют строгому ортогональному складыванию, хотя и разрешалось свободное складывание. ПлощадьКратностьМногогранникСсылка1429026 Все трикубы14Все трикубы1868Все древовидные тетракубы2223 пентакуба22322 древовидных пентакуба221непланарные пентакубы
Дельтаэдры 3D Симплициальный многогранник ПлощадьКратностьМногогранникСсылка81оба 8-гранных дельтаэдра1047-вершинные дельтаэдры
Примечания
Литература
Категория:Многогранники