Война на истощение — это динамичная игра на время, в которой игроки выбирают момент для остановки, балансируя между стратегическими выгодами от превосходства над противником и реальными затратами, возникающими с течением времени. Её полной противоположностью является игра на упреждение, в которой игроки выбирают время остановки, балансируя между стратегическими выгодами от превосходства над противником и реальной добычей, получаемой с течением времени. Модель игры была сформулирована Джоном Мейнардом Смитом. Смешанная эволюционно стабильная стратегия (ЭСС) была найдена Бишопом и Каннигансом. Примером является аукцион второй цены с полной оплатой, в котором приз переходит к игроку с большей ставкой, но каждый участник выплачивает минимальную ставку проигравшего (что делает его аукционом по второй цене с закрытой заявкой и ).

Изучение игры Чтобы понять, что из себя представляет «война на истощение», рассмотрим аукцион с полной оплатой: предположим, что каждый игрок делает ставку на какой-либо предмет, и тот, кто предложит самую высокую цену, получит ресурс с ценностью V. Каждый игрок вносит свою ставку. Другими словами, если игрок делает ставку b, его результат -b в случае проигрыша, и V-b в случае выигрыша. Наконец, если оба игрока предложили одинаковую цену b, то они делят выигрыш (V) пополам и каждый получает V/2-b. Наконец, представим, что ставка b является временем, и игра становится игрой на истощение, поскольку более высокая ставка затратна, зато она обеспечивает выигрыш.

Условие, что игроки могут делать ставки любой величины, важно для анализа аукционов с полной оплатой с закрытыми ставками по второй цене. Ставка может даже превышать стоимость ресурса, за который ведется спор. На первый взгляд это кажется нерациональным, поскольку платить за ресурс больше, чем он стоит, кажется глупостью. Однако помните, что каждый участник платит только самую низкую ставку. Поэтому, по-видимому, в интересах каждого игрока сделать ставку максимально возможной суммы, а не суммы, равной или меньшей стоимости ресурса. .

Однако есть одна загвоздка. Если оба игрока предложат ставку больше V, предложивший большую ставку не выиграет много, зато проиграет меньше. Игрок, предложивший меньшее значение b, теряет b, а предложивший большее значение теряет b -V (здесь b>V). Эта ситуация обычно считается пиррвовой победой. В случае ничьей, когда b>V/2, оба теряют b-V/2. Льюс и Райфа назвали эту ситуацию «пагубной» — оба игрока несут потери и выигравшего нет.

Вывод, который можно сделать из этой псевдоматрицы, заключается в том, что нет значения для ставки, которое было бы выгодно во всех случаях, так что нет доминирующей стратегии. Однако в чистых стратегиях существует множество асимметричных слабых равновесий Нэша. Например, любой игрок может сделать ставку . Лучшим ответом другого игрока является нуль, поскольку нет ставки, при которой он мог бы выиграть и получить положительную выгоду. Игрок с положительной ставкой не платит ничего в этом равновесном состоянии, поэтому у игрока нет стимула предлагать меньшую цену. Это равновесие является совершенным равновесием по подыграм.

Есть также и в смешанных стратегиях.

Симметричное равновесие Нэша Другая популярная формулировка войны на истощение следующая: Между двумя игроками возник спор из-за объекта. Значение объекта для каждого игрока равно . Время моделируется как непрерывная переменная со значениями от нуля до бесконечности. Каждый игрок выбирает, когда уступить объект другому игроку. В случае ничьей каждый игрок получает . Время ценно, каждый игрок использует одну единицу полезности за период времени. Эта формулировка немного сложнее, поскольку позволяет каждому игроку присваивать объекту разную стоимость. Мы предполагаем, что оба игрока знают оценку другого игрока. Таким образом, игра является игрой с полной информацией.

Единственное симметричное равновесие Нэша определяется :

Значение для игрока i для момента времени t при значении ресурса для его оппонента является вероятностьютого, что . Эта стратегия не гарантирует победу ни одному из игроков. Скорее, это оптимальная стратегия, учитывая, что ваш оппонент также использует стратегию той же формы. Заметим, что в случае ,

Таким образом, игрок с меньшим значением удерживается дольше, чем игрок с большим значением. Это означает, что игрок с меньшим значением имеет большую вероятность выиграть войну. Обратите внимание, что не существует такого значения x, при котором функция выживания равна нулю. таким образом, распределение ставок имеет полную поддержку. Более того, оба игрока получают ожидаемый выигрыш, равный нулю, поскольку их выигрыш равен нулю при t=0 , а их ожидаемый выигрыш должен быть одинаковым при каждом значении t.

Динамичная формулировка и эволюционно стабильная стратегия Единственная эволюционно стабильная стратегия (ЭСС) совпадает с симметричным равновесием Нэша . Это следует из того факта, что любая ЭСС должна быть равновесием Нэша, и из того, что никакая чистая стратегия по времени войны не может быть ЭСС. То, что чистая стратегия по времени войны не является ЗСС, можно продемонстрировать, просто рассмотрев предполагаемую ставку ЭСС x, которая будет бита ставкой x+.

Также было показано, что даже если индивидуумы могут играть только в чистые стратегии, среднее значение стратегии всех индивидуумов сходится точно к вычисленной ЭСС. В такой обстановке можно наблюдать циклическое поведение конкурирующих лиц.

Смотрите также

Игра «Ястребы и голуби»

Война на истощение

Примечания

Литература

Категория:Некооперативные игры