Осевая симметричность — это мера, насколько фигура симметрична относительно осей. Она определяется как отношение площади наибольшего подмножества, симметричного относительно какой-либо оси, к площади всей фигуры. Эквивалентно, это наибольшая доля фигуры, которая может быть покрыта зеркальным отражением этой фигуры (с любой ориентацией).
Фигура, которая сама по себе является осесимметричной, например, равнобедренный треугольник, будет иметь осевую симметричность, равную единице, тогда как асимметричная фигура, например, разносторонний треугольник, будет иметь осевую симметричность меньше единицы.
Верхняя и нижняя границы Лассак показал, что любое выпуклое множество имеет симметричность не меньше 2/3. Этот результат улучшает предыдущую нижнюю границу 5/8 Краковского. Лучшая известная верхняя граница задаётся конкретным выпуклым четырёхугольником, найденным с помощью компьютерного поиска, чья осевая симметричность меньше 0,816.
Для треугольников и для центральносимметричных выпуклых тел осевая симметричность всегда чуть выше — любой треугольник и любое центральносимметричное выпуклое тело имеет осевую симметричность не менее . В множестве тупоугольных треугольников, вершины которых имеют -координаты , и , осевая характеристика стремится к при стремлении -координат к нулю, что показывает, что нижняя граница максимально возможная. Можно также построить последовательность центрально-симметричных параллелограммов, осевая симметричность которых имеет тот же предел, что снова демонстрирует, что нижняя граница точна.
Алгоритм Осевая симметрчность заданной выпуклой фигуры может быть приближена сколь угодно точно за сублинейное время, при наличии доступа к фигуре через оракулы для нахождения крайней точки в заданном направлении и для нахождения пересечения фигуры с прямой.
Барекет и Рогол рассматривают задачу точного вычисления осевой симметричности как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. Множество всех возможных осей симметрии на плоскости является (согласно проективной двойственности) двумерным пространством. Они разделяют это пространство на ячейки, внутри которых рисунок пересечений многоугольника с его отражением остается неизменным, что приводит к плавному изменению осевой симметричности в каждой ячейке. Таким образом, они сводят задачу к численному расчету внутри каждой ячейки, но этот расчёт они не проводят в явном виде. Разделение плоскости на ячейки в общем случае содержит ячеек, а для выпуклых многоугольников — ячеек. Построение такого разделения может занять время, превышающее эти границы на логарифмический множитель. Барекет и Рогол утверждают, что на практике задача максимизации площади внутри одной ячейки может быть решена за время , что дает (нестрогие) общие временные оценки для выпуклого случая и для общего случая.
Связанные понятия Де Валькурт приводит список из 11 различных способов измерения осевой симметричности, и описанный здесь метод является третьим в этом списке. Он требует, чтобы каждый такой показатель был инвариантен по подобию данной фигуры, принимал значение единицы для симметричных фигур и значение от нуля до единицы для других фигур. Другие показатели симметрии, обладающие этими свойствами, включают отношение площади фигуры к площади наименьшего охватывающего её симметричного супермножества, а также аналогичные отношения периметров.
Лассак, помимо изучения осевой симметричности, исследует её ограниченный вариант. В этом варианте задача состоит в поиске полупространства, пересечение которого с выпуклой фигурой имеет большую площадь и при этом полностью лежит внутри отражения фигуры относительно границы этого полупространства. Он демонстрирует, что такое пересечение всегда можно найти, и его площадь будет составлять не менее 1/8 от площади всей фигуры.
В области компьютерного зрения Марола предложил измерять симметрию цифрового изображения (рассматриваемого как функция , отображающая точки плоскости в значения интенсивности оттенки серого в интервале ) путем поиска отражения которое максимизирует интеграл по площади
Когда является индикаторной функцией заданной фигуры, это то же самое, что и осевая симметричность.
Примечания
Категория:Симметрия Категория:Планиметрия