В теории чисел теория Ивасавы — это изучение объектов арифметического интереса над бесконечными башнями числовых полей. Она возникла как теория модулей Галуа для групп классов идеалов, предложенной Кэнкити Ивасавой (1959, ) в рамках теории циклотомических полей. В начале 1970-х годов Барри Мазур рассматривал обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия. В начале 1990-х годов Ральф Гринберг предложил развитие теории Ивасавы для мотивов.

Формулировка Ивасава работал с так называемыми -расширениями: бесконечными расширениями числового поля , группой Галуа которых изоморфна аддитивной группе p-адических целых чисел для некоторого простого числа p ( -расширения в ранних работах). Каждая замкнутая подгруппа имеет вид поэтому, по теории Галуа, -расширение то же самое, что и башня полей

такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа задавая вопросы о структуре модулей

В более общем плане теория Ивасавы задаёт вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа как p-адической группой Ли.

Пример Пусть будет простым числом и пусть  — поле, порождённое над от -ми корнями единицы. Ивасава рассматривал следующую башню числовых полей:

где это поле, созданное примыканием к корней единицы степени p n +1, а

Так как , то по бесконечной теории Галуа Чтобы получить нетривиальный модуль Галуа, Ивасава рассматривал группу идеальных классов поля и обозначал через её p-торсионную часть. Для существуют нормы , и тем самым образуется проектирующая система. Если положить

то из определения проектирующего предела нетрудно видеть, что является модулем над Фактически, является модулем над алгеброй Ивасавы , которая представляет собой двумерное регулярное локальное кольцо, что позволяет описывать модули над \Lambda, и из такого описания можно восстановить информацию о p-части группы классов поля

Мотивация здесь заключается в том, что p-торсион в группе идеальных классов поля уже был выделен Куммером как главное препятствие к прямому доказательству Великой теоремы Ферма.

Связи с p-адическим анализом Начиная с 1950-х годов, на основе этих идей была построена обширная теория. Было замечено фундаментальное соответствие между модульной теорией и p-адическими L-функциями, определёнными в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние исходили из чисел Бернулли и использовали интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле. Постепенно стало ясно, что эта теория открывает путь к продвижению вперёд по сравнению со результатами Куммера столетней давности о регулярных простых числах.

Ивасава сформулировал главную гипотезу теории Ивасавы, утверждающую, что два способа определения p-адических L-функций — с помощью модульной теории и через интерполяцию — должны совпадать (в пределах корректности определений). Это было доказано для и для всех вполне вещественных числовых полей . Доказательства были построены по образцу работы Кена Райбета, доказавшего обратную теорему к теореме Эрбранда (так называемая теорема Эрбранда — Райбета).

Карл Рубин нашёл более элементарное доказательство теоремы Мазура — Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина (см. и ), и впоследствии получил другие обобщения главной гипотезы для мнимо-квадратичных полей.

Обобщения В теории Ивасавы можно варьировать как группу Галуа бесконечной башни, так и исходное поле, и тип рассматриваемого арифметического модуля. В каждом таком случае формулируется главная гипотеза, устанавливающая связь между данной башней и соответствующей p-адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан заявили о доказательстве главной гипотезы для группы GL(2). В 2010 году они опубликовали препринт своей работы .

Ссылки Источники

Примечания

Литература

Masato Kurihara, Kenichi Bannai, Tadashi Ochiai, Takeshi Tsuji (EDs.): Development of Iwasawa Theory: The Centennial of K. Iwasawa’s Birth, Mathematical Soc of Japan, (Advanced Studies in Pure Mathematics, V.86), ISBN 978-4-86497092-1 (2020). Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.1, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.272), ISBN 978-1-4704-5672-6 (2023). Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.2, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.280), ISBN 978-1-4704-5673-3 (2024). Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.3, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.291), ISBN 978-1-4704-7732-5 (2025).

Категория:Теория полей