Параметрическое пространство — это пространство всех возможных значений параметров, определяющих некоторую математическую модель. Оно также может называться пространством весов и зачастую является подмножеством конечномерного Евклидового пространства.
В статистике параметрические пространства используются для описания параметрических семейств распределений вероятности. Они также закладывают основу для оценки параметров. В случае для параметрических моделей определённая целевая функция максимизируется или минимизируется над параметрическим пространством. Теоремы существования и состоятельности таких оценок требуют некоторых предположений о топологии параметрического пространства. Например, компактность параметрического пространства, вместе с непрерывностью целевой функции, достаточны для существования экстремальной оценки.
Иногда исследуется влияние параметров на статистическую модель. В этом контексте, они могут рассматриваться как входы функции и в этом случае параметрическое пространство можно заменить более математическим термином область определения функции. Диапазоны значений параметров можно отложить по осям графика, а результаты модели нанести на этот график для иллюстрации того, как разные области параметрического пространства образуют разные типы поведения модели.
Примеры Простая модель ухудшения здоровья после развития рака лёгких может включать в себя два параметра: пол и курит или нет человек, в этом случае параметрическое пространство — это множество из четырёх элементов:
У логистического отображения есть только один параметр — , который может принимать любое положительное значение, поэтому параметрическое пространство — это все . Для некоторых значений эта функция начинает циклически колебаться возле некоторых значений или вообще фиксируется на одном значении. Эти предельные значения могут быть изображены на диаграмме бифуркаций в зависимости от , чтобы продемонстрировать разное поведение функции для различных значений .
У модели синусоиды параметрами являются: амплитуда , угловая частота и фаза , где под имеется в виду отрезок с отождествлением и . Отсюда параметрическое пространство — это: .
В голоморфной динамике параметрическое пространство — это комплексная плоскость , где . Известное множество Мандельброта — это подмножество параметрического пространства, состоящее из точек на комплексной плоскости, для которых итерируемая функция , начиная с точки , образует ограниченное множество чисел. Оставшиеся точки, которые не входят в это множество, дают неограниченное множество чисел (числа стремятся к бесконечности), когда эта функция применяется от стартовой точки .
В машинном обучении, гиперпараметры используются для описания моделей. В глубоком обучении параметры глубокой нейросети называются весами. Ввиду слоистой структуры нейросетей, их пространства весов имеют комплексную структуру и геометрию. Например, в многослойном персептроне одна и та же функция сохраняется при перестановке узлов скрытого слоя, что соответствует перестановке весовых матриц нейросети. Это свойство называется относительно перестановок глубоких весовых пространств. Это изучается в теме оптимизации гиперпараметров.
История Параметрическое пространство внесло свой вклад в освобождение геометрии от рамок трёхмерного пространства. Например, параметрическое пространство сфер в трёхмерном пространстве имеет четыре измерения — три для центра сферы и ещё одно для радиуса. По словам Дирка Стройка именно книга Neue Geometrie des Raumes (1849) Юлиуса Плюккера показала: …геометрии не обязательно основываться исключительно на точках как базовых элементах. Линии, плоскости, окружности, сферы могут использоваться как элементы (Raumelemente), на которых может быть основана геометрия. Эта плодотворная идея пролила новый свет и на синтетическую, и на алгебраическую геометрию и создала новые формы двойственности. Число измерений конкретной формы геометрии сейчас может быть любым положительным числом, в зависимости от числа параметров, необходимых для определения «элемента»Стройк, Дирк Ян (1967) A Concise History of Mathematics, 3rd edition, Dover Publications. Необходимость в больших измерениях продемонстрирована в Плюккеровской геометрии линий. Стройк пишет: геометрия линий [Плюккера] в трёхмерном пространстве может рассматриваться как четырёхмерная геометрия, или, как подчеркнул Клейн, геометрия четырёхмерной поверхности второго порядка в пятимерном пространстве. Так описывает параметры линий в пространстве.
См. также
Пространство элементарных событий Анализ данных Конфигурационное пространство Снижение размерности Выбор статистической модели Параметрическое представление Параметрическое задание поверхности Фазовое пространство
Примечания