Серпентайлс — это название, которое придумал Курт Н. Ван Несс для шестиугольных плиток, используемых в различных абстрактных стратегических играх-головоломках , таких как Psyche-Paths (психоделические пути), Kaliko и Тантрикс. На каждой плитке от одного до трёх цветов используются для рисования путей, соединяющих шесть сторон в различных конфигурациях. Каждая сторона соединена с другой стороной определённым маршрутом и цветом. Игровой процесс обычно заключается в том, что игроки по очереди выкладывают плитки. Во время каждого хода плитка кладётся рядом с существующими плитками так, чтобы цвет пути был одинаков для обеих соприкасающихся плиток.
Серпентайлс — это также название однопользовательской игры-головоломки на соединение, разработанной Бреттом Дж. Гилбертом и выпущенной компанией в 2008 году. Игра Серпентайлс (2008) включает квадратные (1×1) и прямоугольные (2×1) плитки, а также карточки с заданиями, которые содержат список плиток, которые должны быть разложены для создания непрерывного пути.
Обозначения плиток Ван Несс также ввёл трёхзначное обозначение для категорий плиток, основанное на путях, изображенных на них. Обозначение xyz означает: x = количество путей, соединяющих стороны с расстоянием 3 и 2 сегмента (противоположные стороны) y = количество путей, соединяющих стороны с расстоянием 2, 1 сегмента z = количество путей, соединяющих стороны с расстоянием 1, 0 сегмента (смежные стороны)
Очевидно, что максимальное расстояние между сторонами равно 3. Поскольку сторон шесть, существует три пути между ними, и сумма цифр в нотации всегда равна трём. Ван Несс также опубликовал математическое описание: , где — количество сегментов с расстоянием между сторонами . Существует пять различных комбинаций шести сторон и трёх путей, если пока не учитывать возможность изменения цвета пути:
Повороты Имеется шесть потенциальных поворотов (360°/60°) правильного шестиугольника. При рассмотрении плитки с кодом 300 обнаруживается её вращательная симметрия: любое вращение на 60° приводит к тому, что одни и те же стороны будут соединены, так что плитка 0300 имеет единственную вращательную позицию. Аналогично, плитка 003 имеет две вращательные позиции — при вращении на 60° будут соединены путями другие стороны, но следующее вращение на 60° в том же направлении приводит к соединению тех же сторон, что и до вращений. Подобным образом плитки 102 и 120 имеют по три уникальные вращательные позиции, а плитка 021 имеет шесть уникальных вращательных позиций.
Для однозначного описания каждого положения при вращении представим, что применяется система отсчёта, в которой каждая сторона пронумерована от 1 до 6 последовательно против часовой стрелки. Соединяющие стороны пути можно описать как связанные пары.
Например, для плитки 003 выше, двигаясь против часовой стрелки от нижнего правого края, обозначение пути/пары будет 12-34-56. Одно вращение фигуры добавит единицу (при вращении против часовой стрелки) или вычтет единицу (при вращении по часовой стрелке) к каждому числу по модулю 6. Таким образом, связывающие пути при вращении на 60° против часовой стрелки изменятся на 23-45-67, или, переписав с использованием модуля 6, 23-45-61, что демонстрирует, как разные стороны связываются при одном ортогональном вращении. Порядок внутри пары и порядок записи пар не влияют на конфигурацию. Например, запись 23-45-61 эквивалентна 23-45-16 и 16-23-45. Второе вращение приводит к 34-56-12, и легко продемонстрировать, что это эквивалентно 12-34-56, исходной ориентации.
Систему отсчёта также можно пронумеровать последовательно по часовой стрелке. В этом случае вращение по часовой стрелке увеличивало бы значения на 1, а вращение против часовой стрелки уменьшало бы значения на 1. Ориентация системы отсчёта (по часовой стрелке или против часовой стрелки) влияет только на арифметические операции, необходимые для поворота плитки. Аналогично, выбор начала отсчёта (какая сторона обозначена как первая) для системы отсчёта произволен, но сама система отсчёта остаётся фиксированной во время вращения.
+ Класс Уникальныхпозицийвращения Галерея позиций 003 2 021 6 102 3 120 3 300 1
Описание плиток по связи сторон также неявно включает трёхзначную нотацию Ван Несса. Для любой произвольной последовательности из трёх пар AB-CD-EF нотацию Ван Несса можно восстановить по следующей формуле:
Квадрат Хотя правильный шестиугольник может быть использован для покрытия плоскости без зазоров, правильный квадрат может быть использован также для покрытия плоскости. Квадрат с двумя путями, соединяющими стороны, может быть описан аналогичным образом, используя двухбуквенную нотацию yz. Имеется всего две возможные конфигурации.
Подобно шестиугольному случаю, плитка 20 (в которой пути соединяют противоположные стороны) имеет вращательную симметрию. Ясно, что плитка 02 вращательной симметрии не имеет, поскольку вращение на 90° по часовой стрелке или против часовой стрелки приведёт к соединению других сторон. Сравните с той же плиткой, повёрнутой на 90°: . Квадратные плитки, у которых отсутствует вращательная симметрия, известны как плитки Труше. Впервые плитки Труше встречаются в трудах доминиканского монаха , озаглавленных «Memoir sur les Combinaisons» () и датируемых 1704 годом, а Сирил Стэнли Смит популяризировал их в 1987 году, после чего они и получили современное название.
Правильный восьмиугольник Аналогично, правильный восьмиугольник может иметь четыре пути, соединяющие восемь сторон. Эти пути описываются с использованием нотации Ван Несса аналогичным образом, с помощью четырёхзначной нотации wxyz. Имеется 18 различных комбинаций:
Как и в предыдущих примерах с шестиугольниками и квадратами, случай, когда соединены все противоположные стороны (4000), имеет вращательную симметрию. Заметим, что для восьмиугольника используемая нотация больше не описывает конфигурацию пути однозначно. В галерее имеется по две плитки с нотациями 0121 и 1111. Пара 1111 представляет собой зеркальное отражение. Для различения этих плиток можно использовать нотацию вращательного положения. Если система отсчёта пронумерована против часовой стрелки, начиная с нижнего края, 0121(a) выше может быть записано как «0121 12-36-47-68», что отличается от 0121(b): «0121 12-38-46-57». Аналогично, плитка 1111(a) с кодом «1111 12-36-48-57» отличается от 1111(b) с кодом «1111 13-25-48-67».
Эти восьмиугольные плитки могут быть скомбинированы с четырёхугольными плитками, описанными выше (повёрнутыми на 45° для заполнения пустот), чтобы полностью покрыть поверхность путями, проходящими через все края.
Правильные многоугольники с двумя точками входа на сторону Предыдущее обсуждение касалось правильных многоугольников с 4, 6 и 8 сторонами, имеющих одну точку входа на каждой стороне, причём каждая сторона соединена путём. Поскольку пути соединяют две различные стороны, использование одной точки входа на сторону требует правильных 2n-сторонних многоугольников (то есть с чётным числом сторон), чтобы обеспечить, что все точки входа будут связаны путями. Если же имеются плитки с нечётным числом сторон, то чётное количество точек входа аналогичным образом обеспечит связь всех точек входа путями.
Например, правильный треугольник может иметь две входных точки на сторону. На рисунке выше показано 7 возможных комбинаций с 3 путями на каждой плитке. Хотя нотацию Ван Несса можно адаптировать для подсчёта смежности вместо сторон, каждая плитка не описывается однозначно этой нотацией. Тем не менее, связь между случаями 003(a) и (b) можно увидеть, вписав треугольник, как на показанном примере. Аналогичный треугольник можно вписать и для случая 021(a), чтобы продемонстрировать его связь с 021(b).
Возможно, проще будет описать плитку через пары путей. В наборе треугольных плиток с двумя точками входа на каждой стороне и тремя путями нумерация начинается с левой точки на нижней грани и продолжается последовательно против часовой стрелки.
Одно полное вращение поворачивает плитку на 120° (=360°/3 стороны). Арифметические операции вращения выполняются путём сложения двух чисел по модулю шесть. Рассмотрим плитку (12-34-56). Вращение плитки на одно или несколько полных оборотов, как видно, не изменяет связанные точки. Чтобы это показать, одно вращение против часовой стрелки приводит к конфигурации (34-56-78), или, после выполнения арифметики по модулю, (34-56-12), которую можно переставить в (12-34-56), показывая, что одно вращение не влияет на связывающие пути. С другой стороны, рассмотрим плитку (13-26-45). Два вращения этой плитки против часовой стрелки приводят к конфигурациям (16-24-35) и (15-23-46) соответственно, таким образом, эта плитка имеет три различные вращательные позиции.
Квадрат, имеющий по два входа на каждой стороне, имеет 35 возможных комбинаций при использовании 4 путей на плитку. Полный оборот составляет 90°, а вращательная симметрия определяется сложением 2 по модулю 8, аналогично случаю с равносторонним треугольником. Такой набор квадратов с двумя точками входа на сторону и четырьмя путями на плитку используется в настольной игре .
В некоторых случаях пары (a) и (b) [или (a) и (x)] могут быть восстановлены путём вписывания квадрата аналогичным образом. В других сдучаях [(a) & (b)] или [(x) & (y)] они являются зеркальными парами.
Обобщение на правильные многоугольники Для общего случая, где плитки являются -сторонними правильными многоугольниками, имеющими входов на сторону, при условии, что чётно, число различных комбинаций может быть вычислено как .
Здесь — функция Эйлера, определяется как:
Например, десятиугольник с одним путём на каждой стороне (5 путей всего) имеет 105 комбинаций.
+Число уникальных плиток с сторонами, каждая с входами 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 (окружность) 1 1 2 5 18 1 (одноугольник) 1 1 3 15 105 2 (двуугольник) 1 1 3 11 65 513 5363 68219 N/C 3 (теугольник) 1 7 3483 N/C N/C 4 (квадрат) 1 2 35 2688 508277 N/C N/C N/C N/C 5 (пятиугольник) 1 193 N/C N/C N/C 6 (шестиугольник) 1 5 1799 N/C N/C N/C N/C N/C N/C 7 (семиугольник) 1 19311 N/C N/C N/C 8 (восьмиугольник) 1 18 254143 N/C N/C N/C N/C N/C N/C 9 (девятиугольник) 1 N/C N/C N/C N/C 10 (десятиугольник) 1 105 N/C N/C N/C N/C N/C N/C N/C
(Многие значения из оригинального источника помечены как N/C, что означает «не вычислялись».)
Вариации + Игры, использующие серпентайлс Название год Цвета дорожек Материал плитки Число плиток Примечания Psyche-Paths 1969 3 Картон 85 + 6 чистыхKalikoначало 1980-х3 Плексиглас 85 До 2001 года — плексиглас. В настоящее время используются бамбуковые/деревянные плитки. Дерево Тантрикс 1988 4 Пластик 56 До трёх цветов на одной плитке. На обратной стороне плитки пронумерованы. Плитки с тремя пересечениями не используются.
Psyche-Paths В игру Psyche-Paths играют от одного до шести игроков. Игроки по очереди выкладывают плитки. Каждая новая плитка, размещённая рядом с уже выложенными, должна продолжать цвет пути (или путей) на прилегающем крае (или краях). Шесть пустых плиток служат «джокерами» и считаются продолжающими любой соседний путь. В начале игры вытягивается одна плитка и помещается в центр игрового поля, чтобы «запустить» игру.
В варианте «для начинающих» Psyche-Paths игроки берут одну плитку из стопки лицевой стороной вниз, когда наступает их ход. За каждый соединённый путь начисляется одно очко. Если игрок не может выложить плитку или делает недопустимый ход, плитка остается у него , и в конце игры игрок штрафуется на количество очков, равное числу путей, проходящих через эту неиспользованную плитку.