Когомотопические множества — конструкции двойственная гомотопическим группам. Являются контравариантными функторами из категории топологических пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений, сохраняющих отмеченную точку, в категорию множеств и отображений. Когомотопические множества пространства с отмеченной точкой обычно обозначается .
Определение
Когомотопические множество , то есть -е когомотопическое множество топологического пространства с отмеченой точкой есть множество гомотопических классов непрерывных отображений, сохраняющих отмеченную точку, из в -мерную сферу .
Свойства
При и это множество обладает естественной структурой абелевой группы.
Если — связный CW-комплексом, то изоморфно первой группе когомологий , поскольку окружность является пространством Эйленберга — Маклейна типа .
Согласно теореме Хайнца Хопфа, если — CW-комплекс размерности не выше , то между гомотопических классами непрерывных отображений и группой когомологий существует биекция. В частности, если линейно связно, то существует естественная биекция Польская окружность, даёт пример пространства для которого это не так. Её первая группа когомологий тривиальна, но существует отображение в , не гомотопное постоянному отображению.
Для любых и выполнено
При и группа изоморфна . Для доказательства этого результата Лев Понтрягин разработал понятие оснащённого кобордизма.
Если таковы, что для всех , то ; если и гладки, то соединяющая их гомотопия тоже может быть выбрана гладкой.
Для компактного связного гладкого многообразия множество изоморфно множеству гомотопических классов гладких отображений ; в этом случае всякое непрерывное отображение равномерно аппроксимируется гладким, а любые гомотопные гладкие отображения гладко гомотопны.
Если является -мерным многообразием, то при .
Если является -мерным многообразием с краем, то относительное когомотопическое множество канонически биективно множеству классов кобордизма оснащённых подмногообразий коразмерности , лежащих во внутренности .
История
Когомотопические множества были введены Каролем Борсуком в 1936 году. Их систематическое исследование начато Эдвином Спеньером в 1949 году.
Примечания
Литература
Borsuk, K. Sur les groupes des classes de transformations continues // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris. — 1936. — Vol. 202. — P. 1400—1403. Spanier, E. Borsuk’s cohomotopy groups // Annals of Mathematics. Second Series. — 1949. — Vol. 50. — P. 203—245. Peterson, F. P. Generalized cohomotopy groups // American Journal of Mathematics. — 1956. — Vol. 78. — P. 259—281.
Категория:Теория гомотопий