Категорификация — замена теоретико-множественных утверждений их теоретико-категорными аналогами. Категорификация, обычно заменяет множества категориями, функции — функторами, а уравнения — естественными изоморфизмами функторов, удовлетворяющими дополнительным свойствам. Обратный процесс называется декатегорификацией.
Термины категорификация и декатегорификация употребляются скорее в том же смысле, что и слово «обобщение», чем как название строго фиксированной процедуры. Например, в теории представлений алгебр Ли существует несколько подходов к категорификации.
Примеры
Одна из форм категорификации берёт структуру, описанную в терминах множеств, и интерпретирует множества как классы изоморфных объектов некоторой категории. Например, множество натуральных чисел можно рассматривать как множество мощностей конечных множеств (и любые два множества с одной и той же мощностью изоморфны). В этом случае операции на множестве натуральных чисел, такие как сложение и умножение, можно интерпретировать как копроизведение и произведениях в категории конечных множеств.
Другие примеры дают теории гомологий в топологии, в частности, Эмми Нётер дала современную формулировку гомологии как ранга некоторых свободных абелевых групп, категорифицировав понятие числа Бетти.
Пример из теории конечных групп состоит в том, что кольцо симметрических функций категорифируется категорией представлений симметрической группы.
Литература
What is categorification?
Категория:Теория категорий