Отображение сдвига — это аффинное преобразование, которое смещает каждую точку в заданном направлении на величину, пропорциональную её от данной прямой параллельно этому направлению.

Этот тип отображения также называют преобразовнием сдвига, трансвекцией, или просто сдвигом. Преобразования могут быть осуществлены с помощью матрицы сдвига, элементарной матрицы, которая представляет добавление кратного одной строки или столбца к другой строке или столбцу. Такая матрица может быть получена путём взятия единичной матрицы и замены одного из нулевых элементов ненулевым значением.

Примером является линейное отображение, которое переводит любую точку с координатами в точку . В этом случае смещение является горизонтальным с коэффициентом 2, где фиксированная линия — это ось , а ориентированное расстояние — это координата . Заметим, что точки по разные стороны от опорной линии смещаются в противоположных направлениях.

Отображения сдвига не следует путать с вращениями. Применение отображения сдвига к набору точек плоскости изменит все углы между ними, и длину любого отрезка, который не параллелен направлению сдвига. Поэтому оно обычно искажает форму геометрической фигуры, например, превращая квадраты в параллелограммы, а окружности в эллипсы. Однако сдвиг сохраняет площадь геометрических фигур, а также выравнивание и относительные расстояния коллинеарных точек. Для шрифтов, которые не реализуют настоящие курсивы, сдвиговое отображение является основным отличием между прямыми и наклонными стилями букв.

В стереометрии используется то же определение, но расстояние измеряется от фиксированной плоскости. Трёхмерное преобразование сдвига сохраняет объём тел, но меняет площадь плоских фигур (за исключением тех, которые параллельны вектору сдвига). Это преобразование применяется для описания ламинарного течения жидкости между плоскостями, одна из которых движется параллельно другой.

В общем -мерном декартовом пространстве расстояние измеряется от фиксированной гиперплоскости, параллельной направлению сдвига. Это геометрическое преобразование является линейным отобржением , сохраняющим -мерную меру (гиперобъём) любого множества.

Определение

Вертикальный и горизонтальный сдвиг плоскости

На плоскости горизонтальный сдвиг (или сдвиг параллельно оси ) — это функция, которая отображает произвольную точку с координатами в точку , где — фиксированный параметр, называемый коэффициентом сдвига.

Эффект этого отображения заключается в смещении каждой точки по горизонтали на величину, пропорциональную её -координате. Любая точка выше оси смещается вправо (увеличивая ), если , и влево, если . Точки ниже оси движутся в противоположном направлении, а точки на оси остаются неподвижными.

Прямые, параллельные оси , остаются на месте, в то время как все остальные прямые поворачиваются (на различные углы) вокруг точки их пересечения с осью . В частности, вертикальные прямые становятся наклонными с угловым коэффициентом наклонными с наклоном Следовательно, коэффициент сдвига равен котангенсу угла сдвига между бывшими вертикалями и осью . В примере справа квадрат наклонен на 30°, поэтому угол сдвига составляет 60°.

Если координаты точки записаны в виде вектор-столбца вектор-столбец (2×1 матрица), отображение сдвига можно представить как умножение на матрицу умножение на 2×2 матрицу:

Вертикальный сдвиг (или сдвиг параллельно оси ) прямых аналогичен, за исключением того, что роли и меняются местами. Он соответствует умножению вектора координат на транспонированную матрицу:

Вертикальный сдвиг смещает точки справа от оси вверх или вниз, в зависимости от знака . Он оставляет вертикальные прямые инвариантными, но наклоняет все остальные прямые вокруг точки их пересечения с осью . В частности, горизонтальные прямые наклоняются на угол сдвига становясь прямыми с угловым коэффициентом .

Комбинирование Два и более преобразования сдвига могут быть скомбинированы.

Если две матрицы сдвига равны и

То их комбинация равна

которая также имеет определитель 1, так что площади сохраняются.

В частности, если , имеем

и эта матрица положительно определена.

Более высокие размерности Типичная матрица сдвига имеет вид

Эта матрица сдвигает параллельно ортогональному дополнению четвертой координаты в направлении оси .

Сдвиг параллельно оси приводит к и . В матричной форме:

Аналогично, сдвиг параллельно оси выражается формулами и . В матричной форме:

В трёхмерном пространстве следующая матрица сдвигает плоскость YZ, превращая её в диагональную плоскость, проходящую через три точки:

Определитель такой матрицы всегда равен единице 1, поскольку независимо от положения элемента сдвига он всегда будет частью побочной диагонали, содержащей нулевые элементы, так что произведение этих элементов остаётся нулевым и на определитель не влияет. Таким образом, любая матрица сдвига имеет обратную, а её обратная матрица представляет собой просто матрицу сдвига с отрицательным элементом сдвига, что соответствует сдвигу в противоположном направлении. Более того, это часть более общего и легко выводимого результата: если является матрицей сдвига с элементом , то — это матрица сдвига, элемент которой равен . Следовательно, возведение матрицы сдвига в степень умножает её коэффициент сдвига на .

Свойства Если является матрицей сдвига, то: имеет ранг , а потому обратима 1 является единственным собственным значением , так что и собственное подпространство (связанное с собственным значением 1) имеет размерность . является асимметрична можно преобразовать в блочную с помощью не более чем одной перестановки столбцов и одной перестановки строк. Площадь, объём или другая внутренняя мера политопа инвариантны относительно преобразований сдвига его вершин.

Общие отображения сдвига Для векторного пространства и подпространства сдвиг, фиксирующий переносит все векторы в направлении, параллельном .

Точнее, если является прямой суммой и , и мы записываем векторы как

,

типичный сдвиг , фиксирующий имеет вид

где — линейное отображение из в . Следовательно, в терминах блочных матриц может быть представлена как

Приложения Уильям Кингдон Клиффорд отмечал следующие применения отображения сдвига: «Последовательность сдвигов позволит нам свести любую фигуру, ограниченную прямыми линиями, к треугольнику равной площади.» «... мы можем сдвинуть любой треугольник в прямоугольный треугольник, и это не изменит его площади. Таким образом, площадь любого треугольника равна половине площади прямоугольника на том же основании и с высотой, равной перпендикуляру, опущенному на основание из противоположного угла.»

Свойство отображения сдвига сохранять площадь может быть использовано для получения результатов, связанных с площадью. Например, теорема Пифагора была проиллюстрированы с помощью отображения сдвига, равно как и связанная с ней .

Матрицы сдвига часто используются в компьютерной графике.

Алгоритм Алана У. Паэта использует последовательность трёх отображения сдвига (горизонтального, вертикального и снова горизонтального) для вращения цифрового изображения на произвольный угол. Алгоритм очень просто реализовать, и он очень эффективен, поскольку каждый шаг обрабатывает лишь один столбец или одну строку пикселов.

В типографике нормальный текст преобразуется сдвигом для получения наклонного шрифта.

В доэйнштейновской относительности Галилея преобразования между системами отсчёта были отображения сдвига, называемые преобразованиями Галилея. Они также иногда появляются при описании движущихся систем отсчёта относительно «предпочтительной» системы, иногда называемой абсолютным пространством-временем.

См. также Матрица перехода

Примечания

Литература

Категория:Функции Категория:Линейная алгебра