Первичное кольцо — кольцо , в котором произведение двух любых произвольных двусторонних идеалов равно нулевому идеалу лишь тогда, когда или являются нулевым идеалом.
Кольцо первично тогда и только тогда, когда для любых отличных от нуля имеет место . Другое эквивалентное определение: кольцо первично тогда и только тогда, когда правый (левый) аннулятор любого ненулевого правого (левого) идеала равен . Ненулевое кольцо первично тогда и только тогда когда моноид его идеалов не содержит делителей нуля.
Все (следовательно и все простые кольца) первичны. Коммутативное кольцо первично тогда и только тогда, когда оно является областью целостности; в связи с этим первичное кольцо можно рассматривать как обобщение понятия области целостности на некоммутативный случай. Дальнейшее обобщение — полупервичное кольцо, определяемое как кольцо, не содержащее ненулевых нильпотентных двусторонних идеалов.
Литература
Категория:Теория колец