Полупервичное кольцо — кольцо, не содержащее ненулевых нильпотентных идеалов. Для определения достаточно любого из условий: чтобы кольцо не содержало левых, правых или двусторонних ненулевых нильпотентных идеалов.
Полупервичный идеал — идеал, факторкольцо по которому полупервично. Может рассматриваться как некоммутативное обобщение понятия радикального идеала: для коммутативных колец понятия полупервичного и радикального идеалов совпадают. Часто полупервичный идеал эквивалентным образом определяется как собственный идеал кольца , не содержащий ни одной положительной степени элемента, ему не принадлежащего, то есть из следует, что для всякого натурального . В этом случае можно определить полупервичное кольцо как кольцо, нулевой идеал которого полупервичен.
Всякое (не имеющее ненулевых нильпотентных элементов) полупервично; в коммутативном случае выполнено и обратное — всякое полупервичное кольцо является редуцированным.
Всякое первичное, , кольцо является полупервичным кольцом; всякий первичный, идеал является полупервичным идеалом.
Литература
Категория:Теория колец