Класс Натанзона

Класс Натанзона — семейство точно решаемых потенциалов для уравнения Шрёдингера, которые с помощью не зависящей от энергии замены переменной могут быть сведены к гипергеометрическому уравнению Гаусса. Связанное с ним предельное семейство, называемое конфлюэнтным классом Натанзона, сводится к вырождённому гипергеометрическому уравнению. Общий метод был разработан Г. А. Натанзоном в 1971 году; в последующей работе были исследованы общие свойства соответствующих потенциалов, радиальные задачи, функции Йоста и конфлюэнтный предел. Класс Натанзона объединяет многие известные точно решаемые потенциалы, в том числе потенциалы Пёшля — Теллера, Розена — Морзе, Эккарта и Мэннинга — Розена. Конфлюэнтный предел включает потенциалы типа Морзе, Кратцера и гармонического осциллятора.

Определение Если в одномерном стационарном уравнении Шрёдингера

проввести замену тогда уравнение принимает вид

Говорят, что потенциал относится к гипергеометрическому классу Натанзона, если существует не зависящая от энергии замена переменной

и соответствующее преобразование волновой функции, после которых уравнение Шрёдингера сводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса

Его решения выражаются через гипергеометрическую функцию Гаусса

Существенным условием конструкции Натанзона является независимость преобразования от энергии .

Преобразование Лиувилля После устранения первой производной гипергеометрическое уравнение можно записать в нормальной форме

где  — инвариант Бозе () гипергеометрического дифференциального уравнения.

Для гипергеометрического уравнения Гаусса

где

При замене переменной выполняется соотношение

где  — производная Шварца. Это соотношение является основой конструкции Натанзона.

Условие Натанзона Поскольку функция не должна зависеть от энергии, величины , и должны линейно зависеть от :

Преобразование координаты определяется уравнением

где

Эквивалентно,

Многочлен можно записать как

Таким образом, гипергеометрическая конструкция Натанзона определяется шестью параметрами

Для стандартного выбора требуется чтобы функция была вещественной и монотонной.

Общий вид потенциала В обозначениях

общий гипергеометрический потенциал Натанзона имеет параметрическое представление

где В общем случае функция не выражается через элементарные функции. Она может быть задана неявно:

Поэтому общий потенциал Натанзона естественно задаётся параметрически:

Точно решаемая задача, таким образом, не обязана иметь простой явный потенциал .

Собственные функции и спектр Волновая функция связана с решением гипергеометрического уравнения соотношением

Для связанных состояний гипергеометрический ряд обычно должен обрываться. Например,

В этом случае гипергеометрическая функция сводится к многочлену Якоби. Для дискретного спектра в стандартном случае Натанзона условие квантования имеет вид

где Таким образом, спектр определяется точно, хотя уравнение для в общем случае может быть неявным.

Частные случаи Многие классические точно решаемые потенциалы являются частными случаями гипергеометрической или конфлюэнтной конструкции Натанзона. При этом в литературе используются различные нормировки и обозначения параметров. Ниже выбрана единая система обозначений, близкая к принятой в обзоре Купера, Харе и Сукхатме.

Гипергеометрический класс Введём безразмерную координату

и энергетический масштаб

Пусть

Нормировочные коэффициенты собственных функций в таблице опущены.

Потенциал Энергии Волновые функции Пёшля — Теллера I(тригонометрический) Пёшля — Теллера II(гиперболический)ПриПри Обобщённый Пёшля — ТеллераПри Скарфа I(тригонометрический)При Скарфа II(гиперболический)При Розена — Морзе I(тригонометрический)При Розена — Морзе II(гиперболический)При

Связанные состояния существуют приПри ЭккартаПри

Связанные состояния существуют приПри

Здесь  — многочлены Якоби.

Параметризации Пёшля — Теллера I и II связаны преобразованиями координаты и параметров соответственно с потенциалом Скарфа I и обобщённым потенциалом Пёшля — Теллера; поэтому в классификациях формоинвариантных потенциалов они иногда не выделяются как независимые строки.

В первоначальной работе Натанзона в качестве простых случаев общей гипергеометрической конструкции непосредственно выделены потенциалы Пёшля — Теллера, Розена — Морзе и Мэннинга — Розена. Современные обозначения потенциалов Эккарта, Мэннинга — Розена и некоторых обобщённых потенциалов Пёшля — Теллера частично перекрываются: одна и та же комбинация функций и может встречаться под разными названиями и с различными сдвигами нуля энергии.

Конфлюэнтный класс Конфлюэнтный класс Натанзона получается в пределе, в котором гипергеометрическое уравнение Гаусса переходит в вырождённое гипергеометрическое уравнение.

Преобразование координаты удовлетворяет

где Решения выражаются через функции Уиттекера или вырождённые гипергеометрические функции. Для связанных состояний они обычно сводятся к многочленам Лагерра.

Потенциал Энергии Волновые функции МорзеПриПри Гармонический осцилляторПри КулонаПри

для приведённой радиальной функции КратцераВведём

ТогдаПри Радиальный гармонический осцилляторПри

Здесь  — обобщённые многочлены Лагерра, а  — многочлены Эрмита. В исходной классификации Натанзона сферически-симметричный осциллятор, потенциал Морзе и потенциал Кратцера возникают как особенно простые случаи, когда два из трёх коэффициентов , и обращаются в нуль.

Связь с формоинвариантностью Многие наиболее известные потенциалы из класса Натанзона одновременно являются формоинвариантными (shape-invariant) потенциалами суперсимметричной квантовой механики. К ним относятся, в частности, потенциалы Морзе, Скарфа, Эккарта, Розена — Морзе и стандартные потенциалы Пёшля — Теллера. Однако формоинвариантность и принадлежность классу Натанзона не являются эквивалентными условиями. Общий потенциал Натанзона, вообще говоря, не обладает формоинвариантностью. Для классических формоинвариантных потенциалов, параметры которых преобразуются трансляцией, существует более тесная связь: они образуют специальное подмножество потенциалов Натанзона. При более общих преобразованиях параметров, например масштабных, понятие формоинвариантности выходит за рамки этого простого включения.

Математическая интерпретация Конструкция Натанзона обращает обычную постановку задачи о точно решаемом потенциале. Вместо того чтобы исходить из заданного потенциала и затем искать способ решения соответствующего уравнения Шрёдингера, исходят из уже решаемого гипергеометрического уравнения и определяют наиболее общий не зависящий от энергии преобразователь Лиувилля, переводящий его в уравнение Шрёдингера.

Схематически:

гипергеометрическое уравнение → преобразование Лиувилля → уравнение Шрёдингера.

Основными математическими объектами конструкции являются:

инвариант Бозе (Bose invariant) гипергеометрического дифференциального уравнения; производная Шварца преобразования координаты; квадратный многочлен ; условие независимости преобразования от спектрального параметра.

Класс Натанзона является широким классом точно решаемых уравнений Шрёдингера, сводимых к гипергеометрическому или вырождённому гипергеометрическому уравнению. Он не является исчерпывающей классификацией всех точно решаемых операторов Шрёдингера.

История Первая систематическая конструкция одномерных потенциалов, получаемых из гипергеометрического уравнения с помощью не зависящего от энергии преобразования, была опубликована Г. А. Натанзоном в 1971 году. В этой работе была получена общая шестипараметрическая конструкция, исследованы собственные значения и собственные функции и построен конфлюэнтный предел. В качестве простых частных случаев были указаны потенциалы Пёшля — Теллера, Розена — Морзе, Мэннинга — Розена, Морзе и Кратцера. В работе 1979 года Натанзон исследовал общие свойства радиальных потенциалов, допускающих решения посредством гипергеометрических рядов, а также функции Йоста, -матрицу и функции Грина для конфлюэнтного случая. Позднее класс Натанзона изучался в связи с суперсимметричной квантовой механикой, формоинвариантностью и общей классификацией точно решаемых операторов Шрёдингера.

Примечания

Категория:Квантовая механика