Граничные условия Фукса (зеркально-диффузные граничные условия) — граничные условия для функции распределения электронов в квазиклассической теории переноса, описывающие отражение от поверхности материала как сочетание зеркального и диффузного рассеяния. Коэффициент зеркальности определяет долю электронов, отражающихся зеркально, когда оставшаяся доля рассеивается диффузно. Эти условия были введены Клаусом Фуксом в 1938 году для описания электропроводности тонких металлических плёнок и используются для учёта поверхностного рассеяния в теории размерных эффектов Фукса — Зондгеймера.
Описание Граничные условия дополняют кинетическое уравнение Больцмана, связывая функции распределения электронов, движущихся от поверхности и к ней. При зеркальном отражении нормальная составляющая скорости меняет знак, а касательная сохраняется. При диффузном отражении утрачивается направленная составляющая распределения падающих электронов, обусловливающая ток вдоль поверхности. Значения и соответствуют полностью зеркальному и полностью диффузному отражению.
Для изотропного закона дисперсии электронов обозначим через единичную нормаль, направленную внутрь проводника, и введём скорость, связанную с зеркальным отражением:
В стандартной постановке задачи о тонкой плёнке граничное условие для электрона, движущегося после отражения внутрь проводника, , имеет вид
Здесь — точка на поверхности, и — функции распределения падающих и отражённых электронов, а — равновесное распределение Ферми — Дирака при энергии электрона . Подстановка приводит к обычной линеаризованной форме:
Таким образом, в этой постановке функция распределения диффузно отражённых электронов не содержит неравновесной добавки, обусловливающей ток.
В более общей геометрии диффузную составляющую необходимо выбирать так, чтобы выполнялся закон сохранения числа частиц на непроницаемой границе. Изотропное распределение отражённых электронов не обязано совпадать с распределением глобального равновесия. Кроме того, микроскопические модели поверхностного рассеяния могут приводить к коэффициенту зеркальности, зависящему от угла падения, а не к единой постоянной .
Применение
Электропроводность тонких плёнок Первоначально граничные условия Фукса применялись к току, текущему вдоль металлической плёнки. Если её толщина сравнима с длиной свободного пробега электронов в объёмном материале, столкновения с поверхностями изменяют функцию распределения и при наличии диффузной составляющей отражения уменьшают электропроводность. Решение кинетического уравнения с граничными условиями Фукса определяет зависимость электропроводности от толщины в модели Фукса — Зондгеймера.
Для однородных плёнок с неэквивалентными поверхностями каждой поверхности можно приписать собственный коэффициент зеркальности, также модно получить решение для различных сочетаний двух коэффициентов.
Аномальный скин-эффект Смешанные зеркально-диффузные граничные условия используются также в теории аномального скин-эффекта. Если длина свободного пробега электронов сравнима с глубиной проникновения электромагнитного поля или превышает её, токовый отклик становится пространственно нелокальным.
Электронная гидродинамика Граничные условия рассеяния типа Фукса служат исходным пунктом кинетического вывода гидродинамических граничных условий для электронных жидкостей, в том числе в графене. Получаемая длина скольжения определяет связь между касательной скоростью жидкости и её производной по нормали на границе. Почти зеркальное отражение приводит к слабой релаксации касательной составляющей импульса и большой длине скольжения. При полностью диффузном рассеянии длина скольжения, как правило, конечна и имеет порядок длины свободного пробега электронов между столкновениями, сохраняющими суммарный импульс. Поэтому полностью диффузное рассеяние само по себе не означает строго нулевой скорости жидкости на границе.
Примечания
Категория:Физика конденсированного состояния