Целое число называется квадратичным вычетом по модулю , если разрешимо сравнение:
Если указанное сравнение не разрешимо, то число называется квадратичным невычетом по модулю . Решение приведенного выше сравнения означает извлечение квадратного корня в кольце классов вычетов.
Квадратичные вычеты широко применяются в теории чисел, они также нашли практические применения в акустике, криптографии, теории графов (см. Граф Пэли) и в других областях деятельности.
Понятие квадратичного вычета может также рассматриваться для произвольного кольца или поля. Например, квадратичные вычеты в конечных полях.
Различия в терминологии Математическая энциклопедия и ряд других источников определяют квадратичный вычет как число , для которого существует решение сравнения . В других источниках (например, Г. Хассе. Лекции по теории чисел, 1953) указано дополнительное требование, что число взаимно просто с . Часть источников вообще рассматривает только случай нечётного простого модуля. В обоих последних случаях ноль исключается из рассмотрения.
Примеры Числа и являются квадратичными вычетами по любому модулю, так как сравнения и всегда имеют решения и соответственно.
Следствие: поскольку для модуля существуют только два класса вычетов и любое число по модулю 2 является квадратичным вычетом.
По модулю 3 существуют три класса вычетов: Их квадраты попадают в классы вычетов соответственно. Отсюда видно, что числа из классов и являются квадратичными вычетами, а числа из класса (например, ) — квадратичные невычеты по модулю 3.
Теория квадратичных вычетов широко применяется, в частности, для исследования возможных целочисленных значений квадратичных форм. Рассмотрим, например, уравнение:
Из него следует, что Однако квадраты чисел дают по модулю 5 только вычеты то есть 3 является квадратичным невычетом по модулю 5. Отсюда следует, что приведенное уравнение не имеет решений в целых числах.
Общее квадратное сравнение вида где числа взаимно просты и не являются делителями модуля может быть исследовано следующим образом: находится решение сравнения затем исходное квадратное сравнение умножается на получая сравнение вида: Осталось определить, является ли квадратичным вычетом по модулю .
Свойства Критерий Эйлера: Пусть простое. Число a, взаимно простое с , является квадратичным вычетом по модулю тогда и только тогда, когда:
и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда
Квадратичный закон взаимности Квадратичные вычеты, взаимно простые с модулем, образуют мультипликативную подгруппу кольца вычетов индекса 2, в частности: вычет × вычет = вычет; невычет × вычет = невычет. невычет × невычет = вычет.
Количество
По простому модулю Среди ненулевых чисел , для простого модуля существует ровно квадратичных вычетов и невычетов.
Таким образом, ненулевые квадратичные вычеты образуют подгруппу индекса 2 в мультипликативной группе кольца .
По произвольному модулю Вальтер Стангл в 1996 году представил формулу, позволяющую вычислить количество квадратичных вычетов по произвольному модулю .
Пусть — каноническое разложение числа . Тогда для количества квадратичных вычетов по модулю верна формула
Распределение
Количество в интервале Пусть — простое, . Обозначим через количество квадратичных вычетов по модулю среди чисел .
И. М. Виноградовым было доказано, что , где .
Из этого следует, что в произвольных интервалах достаточно большой длины (такой, что ) будет иметь место асимптотическое равенство , то есть квадратичных вычетов и невычетов асимптотически будет поровну.
Наименьший квадратичный невычет по данному модулю
Обозначим через минимальный положительный квадратичный невычет по простому модулю .
Из неравенства (см. раздел «количество в интервале»), напрямую следует, что , то есть .
В результате более глубоких исследований Виноградов доказал, что .
Существует выдвинутая Виноградовым гипотеза о том, что .
Если гипотеза Римана верна, то .
См. также Символ Лежандра См. — список квадратичных вычетов.
Примечания
Литература
Категория:Теория чисел